Com as hipóteses do Exercício 2.10 e admitindo que x=r cos theta e y=r sen theta, mostre que
partial upartial r=1r partial vpartial theta e partial vpartial r=-1r partial upartial theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que nos pede para mostrar duas igualdades envolvendo derivadas parciais em coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a conversão de derivadas de coordenadas cartesianas para polares. Para resolver, vamos precisar usar as relações entre , e , e aplicar as regras de derivação em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sen theta e as coordenadas polares . As equações são:
Essas expressões nos permitem reescrever funções que dependem de e em termos de e .

Passo 3

Agora, suponha que temos funções e . Queremos expressar as derivadas parciais de e em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r , temos:
partial xpartial r = cos theta e partial ypartial r = sen theta
Calculando as derivadas de partial upartial r = partial upartial x cos theta + partial upartial y sen theta e em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 5

De forma similar, para partial upartial theta = partial upartial x cdot partial xpartial theta + partial upartial y cdot partial ypartial theta , aplicamos a regra da cadeia:
partial xpartial theta = -r sen theta e partial ypartial theta = r cos theta
Calculando as derivadas de partial upartial theta = partial upartial x (-r sen theta) + partial upartial y (r cos theta) e em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos considerar as funções partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x e que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Essas condições são fundamentais para funções analíticas em coordenadas cartesianas.

Passo 7

Substituindo as equações de Cauchy-Riemann nas expressões de partial upartial r = partial vpartial y cos theta - partial vpartial x sen theta e partial upartial theta = -r sen theta partial vpartial y - r cos theta partial vpartial x , obtemos:

Passo 8

Observando que:
Podemos reorganizar as expressões para relacionar partial vpartial r = partial vpartial x cos theta + partial vpartial y sen theta e .

Passo 9

Depois de manipular as equações e simplificar, chegamos às seguintes igualdades:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e partial vpartial r = -1r partial upartial theta

Resposta

Assim, mostramos que:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e partial vpartial r = -1r partial upartial theta

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