Calcule os limites das sequências abaixo, se existirem:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
a_n = \frac{2^n}{n!}
quando n \to \infty. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência usando o teste da razão: se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1,
então \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{2^n}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!\,}\cdot\frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}.

Passo 3

Avaliamo o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.
Como esse valor é menor que 1, pelo teste da razão concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

0

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