Determine se as sequências convergem ou divergem:
a_{n}=\frac{n^{3}-2 n+1}{n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{n^{3} - 2\,n + 1}{n^{2} + 3}.
O conteúdo usado aqui é limite de sequência definida por quociente de polinômios: para n\to\infty, o comportamento dominante vem dos maiores graus de n.

Passo 2

Para estudar \lim_{n\to\infty}a_{n}, fatoramos o termo de maior grau no numerador e no denominador:
a_{n} = \frac{n^{3} - 2\,n + 1}{n^{2} + 3} = \frac{n^{2}\bigl(n - \tfrac{2}{n} + \tfrac{1}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(1 + \tfrac{3}{n^{2}}\bigr)} = \frac{n - \tfrac{2}{n} + \tfrac{1}{n^{2}}}{1 + \tfrac{3}{n^{2}}}.

Passo 3

Observamos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(n - \tfrac{2}{n} + \tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)=\infty \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{3}{n^{2}}\Bigr)=1,
logo o quociente também tende a +\infty. Em outras palavras, para n grande a_{n} cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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