Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2}-n\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n tende a infinito da sequência dada por n^{2}-n. As informações relevantes são:
  • A sequência é a_n = n^{2}-n.
  • Queremos calcular \lim_{n\to\infty} a_n.
    Vou proceder mostrando de forma clara e rigorosa se essa sequência converge a um número finito ou diverge (para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Intuição rápida e fatoração útil (sem provar ainda): observar que o termo de maior ordem é n^{2}. Uma forma conveniente de escrever a expressão é fatorando:
n^{2}-n = n^{2}\left(1-\frac{1}{n}\right).
Para n\to\infty tem-se \displaystyle 1-\frac{1}{n}\to 1 e n^{2}\to+\infty. Isso já sugere que o produto tende a +\infty (pois n^{2} cresce sem limite e o outro fator tende a 1, que é positivo). Mas vamos fazer uma prova rigorosa usando a definição de limite que vai para +\infty.

Passo 3

Definição de limite para +\infty (explicada de forma simples): a sequência a_n tende a +\infty se, para todo número real M>0, existir um inteiro N tal que para todo n\ge N valha a_n > M. Vou usar essa definição para demonstrar que para qualquer M>0 conseguimos garantir n^{2}-n>M quando n é suficientemente grande.

Passo 4

Construção de uma desigualdade simples e prática. Para n\ge 2 vale
n-1 \ge \frac{n}{2},
porque n-1-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}-1\ge 0 quando n\ge 2. Multiplicando por n (positivo) obtemos
n(n-1) \ge n\cdot\frac{n}{2}=\frac{n^{2}}{2}.
Como n^{2}-n = n(n-1), concluímos que, para todo n\ge 2,
n^{2}-n \ge \frac{n^{2}}{2}.

Passo 5

Prova rigorosa por comparação (aplicando a definição). Seja M>0 arbitrário. Se escolhermos um inteiro N tal que
N \ge \max\left\{2,\sqrt{2M}\right\},
então, para todo n\ge N teremos n\ge 2 e n\ge \sqrt{2M}. Usando a desigualdade do passo anterior:
n^{2}-n \ge \frac{n^{2}}{2} \ge \frac{N^{2}}{2} \ge \frac{(\sqrt{2M})^{2}}{2}= \frac{2M}{2}=M.
Portanto, para esse N garantimos que n^{2}-n>M para todo n\ge N. Como M>0 foi arbitrário, isso mostra exatamente que n^{2}-n\to +\infty.

Passo 6

Conclusão interpretativa e comentário didático: a sequência diverge para +\infty. Em termos intuitivos, o termo n^{2} domina n quando n cresce muito, então a diferença n^{2}-n sobe sem limite. A prova formal acima transformou essa intuição em um argumento baseado na definição de limite para +\infty.

Resposta

+\infty

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