Calcule os limites das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da sequência dada por
. As informações relevantes são:
- A sequência é
. - Queremos calcular
.
Vou proceder mostrando de forma clara e rigorosa se essa sequência converge a um número finito ou diverge (paraou ).
Passo 2
Intuição rápida e fatoração útil (sem provar ainda): observar que o termo de maior ordem é
. Uma forma conveniente de escrever a expressão é fatorando:
Para
tem-se
e
. Isso já sugere que o produto tende a
(pois
cresce sem limite e o outro fator tende a
, que é positivo). Mas vamos fazer uma prova rigorosa usando a definição de limite que vai para
.
Passo 3
Definição de limite para
(explicada de forma simples): a sequência
tende a
se, para todo número real
, existir um inteiro
tal que para todo
valha
. Vou usar essa definição para demonstrar que para qualquer
conseguimos garantir
quando
é suficientemente grande.
Passo 4
Construção de uma desigualdade simples e prática. Para
vale
porque
quando
. Multiplicando por
(positivo) obtemos
Como
, concluímos que, para todo
,
Passo 5
Prova rigorosa por comparação (aplicando a definição). Seja
arbitrário. Se escolhermos um inteiro
tal que
então, para todo
teremos
e
. Usando a desigualdade do passo anterior:
Portanto, para esse
garantimos que
para todo
. Como
foi arbitrário, isso mostra exatamente que
.
Passo 6
Conclusão interpretativa e comentário didático: a sequência diverge para
. Em termos intuitivos, o termo
domina
quando
cresce muito, então a diferença
sobe sem limite. A prova formal acima transformou essa intuição em um argumento baseado na definição de limite para
.