Calcule os limites das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cuja
-ésima termo é
e pede calcular
.
Informações relevantes: o símbolo é fatorial, isto é, para um inteiro positivo
,
. Não há outras condições ocultas:
tende a infinito pela sequência dos inteiros positivos.
Informações relevantes: o símbolo
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica de fatoriais que permite cancelar termos parecidos. Para inteiros
vale
Aplicando isso com
obtemos uma relação entre
e
.
Passo 3
Escrevendo
em função de
temos:
Assim a sequência simplifica por cancelamento de
:
Passo 4
Simplificando ainda:
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Razoeamento do limite: para
o termo
tende a
porque é um polinômio de grau 2 com coeficiente dominante positivo. Se
então
. Logo
Passo 6
Outra forma de ver (método algébrico clássico): dividir numerador e denominador por
:
Isso confirma o mesmo resultado. Pequenina intuição: o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que qualquer constante, fazendo a fração tender a zero.