Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cuja n-ésima termo é
a_n=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!},
e pede calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes: o símbolo ! é fatorial, isto é, para um inteiro positivo k, k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot1. Não há outras condições ocultas: n tende a infinito pela sequência dos inteiros positivos.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica de fatoriais que permite cancelar termos parecidos. Para inteiros m\ge1 vale
(m+1)!=(m+1)\,m!.
Aplicando isso com m=2n obtemos uma relação entre (2n+1)! e (2n-1)!.

Passo 3

Escrevendo (2n+1)! em função de (2n-1)! temos:
(2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!.
Assim a sequência simplifica por cancelamento de (2n-1)!:
a_n=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)(2n)(2n-1)!}=\frac{1}{(2n+1)(2n)}.

Passo 4

Simplificando ainda:
a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n)}=\frac{1}{4n^2+2n}.
Agora precisamos calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n^2+2n}.

Passo 5

Razoeamento do limite: para n\to\infty o termo 4n^2+2n tende a +\infty porque é um polinômio de grau 2 com coeficiente dominante positivo. Se b_n\to+\infty então \dfrac{1}{b_n}\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n^2+2n}=0.

Passo 6

Outra forma de ver (método algébrico clássico): dividir numerador e denominador por n^2:
\frac{1}{4n^2+2n}=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{4+2/n}\longrightarrow 0\cdot\frac{1}{4+0}=0.
Isso confirma o mesmo resultado. Pequenina intuição: o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que qualquer constante, fazendo a fração tender a zero.

Resposta

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