Calcule os limites trigonométricos:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\operatorname{sen}(7 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(7x)}.
Este é um limite trigonométrico básico que usa o fato fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aplicar o limite fundamental:
\frac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(7x)} =\frac{5x}{7x}\,\frac{\operatorname{sen}(5x)/(5x)}{\operatorname{sen}(7x)/(7x)} =\frac{5}{7}\,\frac{\operatorname{sen}(5x)/(5x)}{\operatorname{sen}(7x)/(7x)}.

Passo 3

Ao fazermos x\to0, vale
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}=1,
logo o quociente das frações tende a 1, e o limite total fica \tfrac{5}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{7}

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