Calcule os limites trigonométricos:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\operatorname{sec} (x)}{\operatorname{tg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite trigonométrico
\lim_{x\to0}\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{\tan(x)}
O conteúdo principal envolve definições de \operatorname{sec}(x) e \tan(x), além de identidades trigonométricas clássicas e o uso de limites fundamentais quando x\to0.

Passo 2

Usamos a definição \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}. Então o numerador fica
1-\operatorname{sec}(x)=1-\frac{1}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)}.

Passo 3

Substituindo na fração e lembrando que \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, temos
\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{\tan(x)} =\frac{\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)}}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} =\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)}.

Passo 4

Aplicamos a identidade
\cos(x)-1=-2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad \sin(x)=2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo,
\frac{\cos(x)-1}{\sin(x)} =\frac{-2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =-\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =-\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Quando x\to0, temos \tfrac{x}{2}\to0 e portanto \tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\to0. Assim
\lim_{x\to0}\bigl(-\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)=0.

Resposta

0

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