Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow b}\left(\frac{e^{a x}-e^{a b}}{x-b}\right)=

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos:
  • O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to b}\left(\frac{e^{a x}-e^{a b}}{x-b}\right).
  • As informações dadas são que a e b são constantes (números reais) e a variável que tende a um valor é x.
  • A pergunta única é: qual é o valor desse limite em termos de a e b?

Passo 2

Fazer uma mudança de variável simples para simplificar a expressão. Defina h = x-b. Então, quando x\to b temos h\to 0. Reescrevendo a expressão em função de h:
\frac{e^{a x}-e^{a b}}{x-b} = \frac{e^{a(b+h)}-e^{a b}}{h}.

Passo 3

Fatorar e^{a b} no numerador para deixar a forma mais clara:
e^{a(b+h)}-e^{a b}=e^{a b}\bigl(e^{a h}-1\bigr).
Portanto a fração fica
\frac{e^{a(b+h)}-e^{a b}}{h} = e^{a b}\,\frac{e^{a h}-1}{h}.

Passo 4

Tratar o caso a=0 separadamente (precaução necessária porque abaixo vamos multiplicar e dividir por a).
Se a=0 então e^{a x}=e^{0}=1 e e^{a b}=1, logo o numerador é zero para todo x e a expressão é identicamente zero; portanto o limite é 0. Note que isso coincide com a fórmula final a e^{a b} quando a=0 (porque 0\cdot e^{0}=0).

Passo 5

Agora suponha a\neq 0. Reescrevemos a fração multiplicando e dividindo por a para preparar uma substituição:
\frac{e^{a h}-1}{h} = a\cdot\frac{e^{a h}-1}{a h}.
Assim
e^{a b}\,\frac{e^{a h}-1}{h} = a\,e^{a b}\,\frac{e^{a h}-1}{a h}.

Passo 6

Fazer a substituição u = a h. Como h\to 0 e a é constante não nula, temos u\to 0. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{e^{a h}-1}{a h} = \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}.
É uma propriedade básica da exponencial que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Uma justificativa intuitiva: pela série de Taylor de e^{u} em torno de 0 vale e^{u}=1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\cdots, então
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2}+\cdots\longrightarrow 1\quad\text{quando }u\to 0.
(Outra justificativa é que esse limite é justamente a derivada de e^{x} em 0, que vale 1.)

Passo 7

Combinação final: usando o resultado do passo anterior,
\lim_{h\to 0} a\,e^{a b}\,\frac{e^{a h}-1}{a h} = a\,e^{a b}\cdot 1.
Logo o limite original vale a\,e^{a b}. Isso também cobre o caso a=0 (já verificado) porque a expressão fornece 0 nesse caso.

Resposta

a e^{a b}

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