Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos:
- O enunciado pede calcular o limite
- As informações dadas são que
e são constantes (números reais) e a variável que tende a um valor é . - A pergunta única é: qual é o valor desse limite em termos de
e ?
Passo 2
Fazer uma mudança de variável simples para simplificar a expressão. Defina
. Então, quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Passo 3
Fatorar
no numerador para deixar a forma mais clara:
Portanto a fração fica
Passo 4
Tratar o caso
separadamente (precaução necessária porque abaixo vamos multiplicar e dividir por
).
Se então
e
, logo o numerador é zero para todo
e a expressão é identicamente zero; portanto o limite é
. Note que isso coincide com a fórmula final
quando
(porque
).
Se
Passo 5
Agora suponha
. Reescrevemos a fração multiplicando e dividindo por
para preparar uma substituição:
Assim
Passo 6
Fazer a substituição
. Como
e
é constante não nula, temos
. Portanto
É uma propriedade básica da exponencial que
Uma justificativa intuitiva: pela série de Taylor de
em torno de
vale
, então
(Outra justificativa é que esse limite é justamente a derivada de
em
, que vale
.)
Passo 7
Combinação final: usando o resultado do passo anterior,
Logo o limite original vale
. Isso também cobre o caso
(já verificado) porque a expressão fornece
nesse caso.