Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da expressão
Informações dadas e objetivo:
- A expressão é
. - Queremos calcular
.
Passo 2
Identifico a forma indeterminada e faço a transformação padrão. Ao observar
quando
, a base tende a
e o expoente tende a
, logo é uma forma indeterminada do tipo
. Um truque clássico é tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Defino
supondo que o limite exista e seja positivo (após achar o logaritmo podemos voltar com a exponencial). Coloco
. Então
O objetivo passa a ser calcular
; depois
desse limite.
Passo 3
Faço uma substituição para deixar a expressão numa forma conhecida. Seja
Quando
temos
. Reescrevo a expressão usando
. Note que
. Então
Portanto
Passo 4
Avalio o limite
. Essa é uma limite bem conhecido que vale
. Posso justificar formalmente usando a regra de L’Hôpital: a forma é
, derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
Também é possível ver isso pela expansão em série
, o que dá o mesmo resultado. Logo
Passo 5
Voltando ao logaritmo do limite: encontramos
Assim, se
, então
. Aplicando exponencial em ambos os lados:
Uma observação geral e útil para a prova: para qualquer constante
vale
e aqui usamos isso com
.