Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{6}{x}\right)^{x}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da expressão
\left(1-\frac{6}{x}\right)^{x}.
Informações dadas e objetivo:
  • A expressão é \left(1-\dfrac{6}{x}\right)^{x}.
  • Queremos calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{6}{x}\right)^{x}.

Passo 2

Identifico a forma indeterminada e faço a transformação padrão. Ao observar \left(1-\dfrac{6}{x}\right)^{x} quando x\to\infty, a base tende a 1 e o expoente tende a \infty, logo é uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Um truque clássico é tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Defino
L=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{6}{x}\right)^{x},
supondo que o limite exista e seja positivo (após achar o logaritmo podemos voltar com a exponencial). Coloco y=\left(1-\dfrac{6}{x}\right)^{x}. Então
\ln y = x\ln\!\left(1-\frac{6}{x}\right).
O objetivo passa a ser calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1-\frac{6}{x}\right); depois L=\exp desse limite.

Passo 3

Faço uma substituição para deixar a expressão numa forma conhecida. Seja
u=-\frac{6}{x}.
Quando x\to\infty temos u\to 0. Reescrevo a expressão usando u. Note que x=-\dfrac{6}{u}. Então
x\ln\!\left(1-\frac{6}{x}\right) = \left(-\frac{6}{u}\right)\ln(1+u) = -6\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1-\frac{6}{x}\right) = \lim_{u\to 0} \left(-6\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\right).

Passo 4

Avalio o limite \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}. Essa é uma limite bem conhecido que vale 1. Posso justificar formalmente usando a regra de L’Hôpital: a forma é 0/0, derivando numerador e denominador em relação a u obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u\to 0}\frac{\dfrac{1}{1+u}}{1} = \frac{1}{1+0}=1.
Também é possível ver isso pela expansão em série \ln(1+u)=u+o(u), o que dá o mesmo resultado. Logo
\lim_{u\to 0} \left(-6\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\right) = -6\cdot 1 = -6.

Passo 5

Voltando ao logaritmo do limite: encontramos
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1-\frac{6}{x}\right) = -6.
Assim, se L=\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{6}{x}\right)^{x}, então \ln L = -6. Aplicando exponencial em ambos os lados:
L = e^{-6}.
Uma observação geral e útil para a prova: para qualquer constante a vale
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x} = e^{a},
e aqui usamos isso com a=-6.

Resposta

e^{-6}

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