Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial de base
avaliada em
bem próximo de
. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a
.
Passo 2
Uma identidade útil e padrão é escrever potências de qualquer base em termos da exponencial neperiana
. Para qualquer base positiva
vale
onde
é o logaritmo natural de
. Vou aplicar isso com
:
Essa reescrita é conveniente porque temos limites clássicos conhecidos envolvendo
.
Passo 3
Substituindo na expressão do limite obtemos
Agora fatoro
de forma a obter a forma padrão
. Escrevo
Definindo a mudança de variável
, quando
também temos
. Assim
Passo 4
Falta calcular
. Uma maneira direta de ver esse limite é usar a expansão em série de Taylor de
centrada em
:
Subtraindo
e dividindo por
dá
Quando
todos os termos além do
tendem a
, logo
(Alternativa breve: esse limite é também a derivada de
em
, e como
temos
.)
Passo 5
Voltando ao passo anterior, como
, obtemos
Pronto — o limite é o logaritmo natural de
. Dá pra interpretar isso como a derivada da função
em
, se isso ajudar a memorizar.