Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2^{x}-1}{x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{2^{x}-1}{x}\right).
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial de base 2 avaliada em x bem próximo de 0. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Uma identidade útil e padrão é escrever potências de qualquer base em termos da exponencial neperiana e. Para qualquer base positiva a vale
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Vou aplicar isso com a=2:
2^{x}=e^{x\ln 2}.
Essa reescrita é conveniente porque temos limites clássicos conhecidos envolvendo e^{t}.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}.
Agora fatoro \ln 2 de forma a obter a forma padrão \dfrac{e^{t}-1}{t}. Escrevo
\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}=\left(\frac{e^{x\ln 2}-1}{x\ln 2}\right)\cdot\ln 2.
Definindo a mudança de variável t=x\ln 2, quando x\to 0 também temos t\to 0. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}=\ln 2\cdot\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}.

Passo 4

Falta calcular \lim_{t\to 0}\dfrac{e^{t}-1}{t}. Uma maneira direta de ver esse limite é usar a expansão em série de Taylor de e^{t} centrada em 0:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por t
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+\cdots.
Quando t\to 0 todos os termos além do 1 tendem a 0, logo
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
(Alternativa breve: esse limite é também a derivada de e^{t} em t=0, e como \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} temos e^{0}=1.)

Passo 5

Voltando ao passo anterior, como \lim_{t\to 0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2\cdot 1=\ln 2.
Pronto — o limite é o logaritmo natural de 2. Dá pra interpretar isso como a derivada da função 2^{x} em 0, se isso ajudar a memorizar.

Resposta

\ln 2

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