Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{\ln (x-2)}{x-3}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x\to 3}\left(\frac{\ln(x-2)}{x-3}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{\ln(x-2)}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
  • Ao substituir x=3 diretamente, o numerador é \ln(3-2)=\ln(1)=0 e o denominador é 3-3=0. Logo a forma obtida é 0/0, que é uma indeterminação (não dá para concluir o valor do limite só com a substituição).

Passo 2

Quando encontramos a indeterminação 0/0, precisamos usar um método para “desfazer” a indeterminação. Duas abordagens muito usadas são:
  • Regra de L’Hôpital (diferenciar numerador e denominador e recalcular o limite), ou
  • Fazer uma substituição que transforme a expressão numa forma padrão conhecida (por exemplo \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital porque é direta aqui e exige poucas contas. Antes, explico o que ela diz de forma simples: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista ou seja \pm\infty.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital ao nosso caso:
  • Tome f(x)=\ln(x-2). A derivada de f em relação a x é f'(x)=\dfrac{1}{x-2}. (Isto vem da regra de derivação do logaritmo natural: a derivada de \ln(u) é u'/u; aqui u=x-2 e u'=1.)
  • Tome g(x)=x-3. A derivada de g é g'(x)=1.
Como f e g tendem a 0 em x=3 e são diferenciáveis em um entorno de 3 (exceto em x=2, mas isso não atrapalha porque estamos interessados em x\to3), podemos aplicar a regra. Assim:
\lim_{x\to 3}\frac{\ln(x-2)}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 3}\frac{1/(x-2)}{1}=\lim_{x\to 3}\frac{1}{x-2}.

Passo 4

Agora calculamos o limite final direto:
\lim_{x\to 3}\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3-2}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o limite pedido vale 1.

Passo 5

(comentário didático rápido e alternativa) Outra forma rápida é fazer a substituição t=x-3. Então x-2=1+t e x\to3 equivale a t\to0. A expressão vira
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t},
e este é um limite padrão que vale 1. Esse resultado pode ser visto como a definição do derivado de \ln x em x=1 (derivada igual a 1), ou pode ser mostrado por desigualdades/squeeze. Ambas as abordagens dão o mesmo valor 1.

Resposta

1

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