Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador é e o denominador é . Logo a forma obtida é , que é uma indeterminação (não dá para concluir o valor do limite só com a substituição).
Passo 2
Quando encontramos a indeterminação
, precisamos usar um método para “desfazer” a indeterminação. Duas abordagens muito usadas são:
- Regra de L’Hôpital (diferenciar numerador e denominador e recalcular o limite), ou
- Fazer uma substituição que transforme a expressão numa forma padrão conhecida (por exemplo
).
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital porque é direta aqui e exige poucas contas. Antes, explico o que ela diz de forma simples: se
e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então
desde que o limite do lado direito exista ou seja
.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôpital ao nosso caso:
- Tome
. A derivada de em relação a é . (Isto vem da regra de derivação do logaritmo natural: a derivada de é ; aqui e .) - Tome
. A derivada de é .
Como
e
tendem a
em
e são diferenciáveis em um entorno de
(exceto em
, mas isso não atrapalha porque estamos interessados em
), podemos aplicar a regra. Assim:
Passo 4
Agora calculamos o limite final direto:
Portanto o limite pedido vale
.
Passo 5
(comentário didático rápido e alternativa) Outra forma rápida é fazer a substituição
. Então
e
equivale a
. A expressão vira
e este é um limite padrão que vale
. Esse resultado pode ser visto como a definição do derivado de
em
(derivada igual a
), ou pode ser mostrado por desigualdades/squeeze. Ambas as abordagens dão o mesmo valor
.