Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informação fornecida: a expressão é a potência de uma razão que depende de
, com tendendo para .
Passo 2
Reescrever a base fazendo aparecer algo da forma
. Vamos transformar a fração:
Definindo
temos então
Passo 3
Estratégia para avaliar o limite (mini-aula): quando a base tem a forma
com
e o expoente tende a infinito (aqui
), é conveniente tomar logaritmo natural. Se
existir e for positivo, então
Além disso, para
vale a aproximação de primeira ordem
. Assim frequentemente basta analisar o limite de
. Vou usar essa estratégia porque permite transformar a potência num produto, que é mais simples de controlar.
Passo 4
Calcular
. Lembrando
,
Dividindo numerador e denominador por
(lembrando que
para
):
Como
temos
, portanto
Passo 5
Agora usar a expansão do logaritmo para passar de
para
de forma rigorosa. Para
existe a expansão
Multiplicando por
,
Mostramos que
. Precisamos ver que os outros termos vão para
. Note que
Para
o comportamento dominante do denominador é
, então
é da ordem
e tende a
. Assim
e também
. Portanto
Passo 6
Voltando do logaritmo: se
, então
. Assim