Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{2 x+8}{2 x+5}\right)^{x}=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2x+8}{2x+5}\right)^{x}.
  • Informação fornecida: a expressão é a potência de uma razão que depende de x, com x tendendo para -\infty.

Passo 2

Reescrever a base fazendo aparecer algo da forma 1+\text{(pequeno)}. Vamos transformar a fração:
\frac{2x+8}{2x+5} = \frac{2x+5+3}{2x+5} = 1 + \frac{3}{2x+5}.
Definindo
u(x)=\frac{3}{2x+5},
temos então
\left(\frac{2x+8}{2x+5}\right)^{x}=\bigl(1+u(x)\bigr)^{x}.

Passo 3

Estratégia para avaliar o limite (mini-aula): quando a base tem a forma 1+u(x) com u(x)\to 0 e o expoente tende a infinito (aqui x\to -\infty), é conveniente tomar logaritmo natural. Se L=\lim (1+u)^{x} existir e for positivo, então
\ln L=\lim_{x\to -\infty} x\ln\bigl(1+u(x)\bigr).
Além disso, para u\to 0 vale a aproximação de primeira ordem \ln(1+u)=u+o(u). Assim frequentemente basta analisar o limite de x\,u(x). Vou usar essa estratégia porque permite transformar a potência num produto, que é mais simples de controlar.

Passo 4

Calcular x\,u(x). Lembrando u(x)=\dfrac{3}{2x+5},
x\,u(x)=x\cdot\frac{3}{2x+5}=\frac{3x}{2x+5}.
Dividindo numerador e denominador por x (lembrando que x\neq 0 para x\to -\infty):
\frac{3x}{2x+5}=\frac{3}{2+\dfrac{5}{x}}.
Como x\to -\infty temos \dfrac{5}{x}\to 0, portanto
\lim_{x\to -\infty} x\,u(x)=\frac{3}{2}.

Passo 5

Agora usar a expansão do logaritmo para passar de x\ln(1+u) para x u de forma rigorosa. Para u\to 0 existe a expansão
\ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}{2}+o(u^2).
Multiplicando por x,
x\ln(1+u)=x u - \tfrac{x u^2}{2} + x\cdot o(u^2).
Mostramos que x u\to \tfrac{3}{2}. Precisamos ver que os outros termos vão para 0. Note que
u(x)^2=\frac{9}{(2x+5)^2}\quad\Rightarrow\quad |x|u(x)^2 =|x|\frac{9}{(2x+5)^2}.
Para x\to -\infty o comportamento dominante do denominador é (2x)^2=4x^2, então |x|u(x)^2 é da ordem \dfrac{1}{|x|} e tende a 0. Assim x u^2\to 0 e também x\cdot o(u^2)\to 0. Portanto
\lim_{x\to -\infty} x\ln(1+u(x))=\lim_{x\to -\infty} x u(x)=\frac{3}{2}.

Passo 6

Voltando do logaritmo: se \ln L=\dfrac{3}{2}, então L=\mathrm{e}^{3/2}. Assim
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2x+8}{2x+5}\right)^{x}=\mathrm{e}^{3/2}.

Resposta

\mathrm{e}^{3/2}

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