Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}(1-8 x)^{\frac{2}{x}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to 0} (1-8x)^{\frac{2}{x}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência com base tendendo a 1 quando x\to0 porque \lim_{x\to0}(1-8x)=1.
  • O expoente \dfrac{2}{x} tende a infinito (positivo ou negativo depende do lado) quando x\to0.
  • Estamos diante de uma forma do tipo (1+\text{algo})^{\text{algo grande}}, que costuma ser tratada passando ao logaritmo natural.

Passo 2

Para tratar limites envolvendo potências onde a base tende a 1, é comum definir a nova variável
y=(1-8x)^{\frac{2}{x}}
e estudar \ln y. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se \ln y tem limite L quando x\to0, então y tem limite e^{L}.

Passo 3

Calcular \ln y:
\ln y=\frac{2}{x}\ln(1-8x).
Vamos converter essa expressão para uma forma em que possamos usar o limite clássico \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 4

Faço a substituição u=-8x. Note que quando x\to0 temos u\to0. Reescrevendo:
\ln y=\frac{2}{x}\ln(1-8x)=\frac{2}{x}\ln(1+u).
Como u=-8x temos x=-\dfrac{u}{8}. Substituindo:
\ln y=\frac{2}{-\tfrac{u}{8}}\ln(1+u)=-16\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando u\to0. Usando o resultado padrão (que pode ser justificado por desenvolvimento em série ou por Regra de L’Hôpital),
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{u\to0}\left(-16\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}\right)=-16\cdot 1=-16.

Passo 6

Como \ln y\to -16 e a exponencial é contínua, concluímos que
y=\,(1-8x)^{\frac{2}{x}}\longrightarrow e^{-16}\quad\text{quando }x\to0.

Resposta

e^{-16}

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