Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência com base tendendo a
quando porque . - O expoente
tende a infinito (positivo ou negativo depende do lado) quando . - Estamos diante de uma forma do tipo
, que costuma ser tratada passando ao logaritmo natural.
Passo 2
Para tratar limites envolvendo potências onde a base tende a
, é comum definir a nova variável
e estudar
. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se
tem limite
quando
, então
tem limite
.
Passo 3
Calcular
:
Vamos converter essa expressão para uma forma em que possamos usar o limite clássico
.
Passo 4
Faço a substituição
. Note que quando
temos
. Reescrevendo:
Como
temos
. Substituindo:
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Usando o resultado padrão (que pode ser justificado por desenvolvimento em série ou por Regra de L’Hôpital),
Portanto
Passo 6
Como
e a exponencial é contínua, concluímos que