Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{\tan 2 x}-1}{\sin 5 x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{\tan 2x}-1}{\sin 5x}\right).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A variável tende a \,x\to 0.
  • O numerador é e^{\tan 2x}-1, que para x=0 vale e^{0}-1=0.
  • O denominador é \sin 5x, que para x=0 vale \sin 0=0.
  • Portanto temos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} — isso indica que precisamos usar limites e aproximações para funções próximas de zero.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) três limites padrão muito úteis — são como ferramentas básicas que sempre aparecem em limites envolvendo seno, tangente e exponencial perto de zero:
  1. Limite exponencial:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Significado: para t pequeno, e^{t}\approx 1+t. Isso vem da série de Taylor de e^{t} ou do fato de que a derivada de e^{t} em zero é 1.
  1. Limite seno:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Significado: para u pequeno, \sin u\approx u. É um limite fundamental da trigonometria e pode ser mostrado geometrica ou via séries.
  1. Limite tangente:
\lim_{v\to 0}\frac{\tan v}{v}=1.
Significado: para v pequeno, \tan v\approx v. Também decorre de aproximações trigonométricas/séries.
Esses limites nos permitem linearizar funções próximas de zero: exponencial, seno e tangente se comportam aproximadamente como suas primeiras ordens (reta).

Passo 3

Agora manipulo a expressão para usar esses limites padrão. Escrevo
\frac{e^{\tan 2x}-1}{\sin 5x} = \frac{e^{\tan 2x}-1}{\tan 2x}\cdot\frac{\tan 2x}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin 5x}.
Explicando a fatoração: multipliquei e dividi por \tan 2x e por 2x de modo que cada fração seguinte seja de um tipo cujo limite conhecido eu tenho (exponencial sobre seu argumento, tangente sobre seu argumento, e uma relação envolvendo x e \sin 5x).

Passo 4

Calculo o limite de cada fator separadamente, usando os limites padrões do Passo 2 e manipulações simples:
  1. Primeiro fator:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\tan 2x}-1}{\tan 2x}
faço a troca t=\tan 2x. Quando x\to 0 temos t\to 0, e pelo limite exponencial do Passo 2
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1,
logo o primeiro fator tende a 1.
  1. Segundo fator:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{2x}.
Use o limite da tangente com v=2x:
\frac{\tan 2x}{2x}\to 1 \quad\text{quando }x\to 0.
  1. Terceiro fator:
\lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin 5x}.
Reescrevo \frac{2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}.
Pelo limite do seno, \lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=1, então \lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin 5x}=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}.
Como cada fator tem limite finito, o limite do produto é o produto dos limites. Portanto o limite total é
1\cdot 1\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 5

(Verificação alternativa — método de L’Hôpital, só para conferir)
Como numerador e denominador vão a zero, podemos aplicar L’Hôpital once: derivando numerador e denominador,
\text{numerador }f(x)=e^{\tan 2x}-1\quad\Rightarrow\quad f'(x)=e^{\tan 2x}\cdot(\tan 2x)'=e^{\tan 2x}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}2x.
\text{denominador }g(x)=\sin 5x\quad\Rightarrow\quad g'(x)=5\cos 5x.
Avaliando em x=0: f'(0)=e^{0}\cdot 2\cdot 1=2 e g'(0)=5\cdot 1=5. Assim pela regra de L’Hôpital o limite é 2/5, coerente com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{5}

Exercícios relacionados