Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A variável tende a
. - O numerador é
, que para vale . - O denominador é
, que para vale . - Portanto temos uma forma indeterminada do tipo
— isso indica que precisamos usar limites e aproximações para funções próximas de zero.
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) três limites padrão muito úteis — são como ferramentas básicas que sempre aparecem em limites envolvendo seno, tangente e exponencial perto de zero:
- Limite exponencial:
Significado: para
pequeno,
. Isso vem da série de Taylor de
ou do fato de que a derivada de
em zero é
.
- Limite seno:
Significado: para
pequeno,
. É um limite fundamental da trigonometria e pode ser mostrado geometrica ou via séries.
- Limite tangente:
Significado: para
pequeno,
. Também decorre de aproximações trigonométricas/séries.
Esses limites nos permitem linearizar funções próximas de zero: exponencial, seno e tangente se comportam aproximadamente como suas primeiras ordens (reta).
Passo 3
Agora manipulo a expressão para usar esses limites padrão. Escrevo
Explicando a fatoração: multipliquei e dividi por
e por
de modo que cada fração seguinte seja de um tipo cujo limite conhecido eu tenho (exponencial sobre seu argumento, tangente sobre seu argumento, e uma relação envolvendo
e
).
Passo 4
Calculo o limite de cada fator separadamente, usando os limites padrões do Passo 2 e manipulações simples:
- Primeiro fator:
faço a troca
. Quando
temos
, e pelo limite exponencial do Passo 2
logo o primeiro fator tende a
.
- Segundo fator:
Use o limite da tangente com
:
- Terceiro fator:
Reescrevo
.
Pelo limite do seno, , então
. Portanto
Pelo limite do seno,
Como cada fator tem limite finito, o limite do produto é o produto dos limites. Portanto o limite total é
Passo 5
(Verificação alternativa — método de L’Hôpital, só para conferir)
Como numerador e denominador vão a zero, podemos aplicar L’Hôpital once: derivando numerador e denominador,
Como numerador e denominador vão a zero, podemos aplicar L’Hôpital once: derivando numerador e denominador,
Avaliando em
:
e
. Assim pela regra de L’Hôpital o limite é
, coerente com o resultado anterior.