Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{\sin x}-1}{\sin 2 x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{\sin x}-1}{\sin 2x}\right).
Informações dadas (úteis):
  • A função está definida por uma expressão envolvendo e^{\sin x} e \sin 2x.
  • O ponto de interesse é x=0.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembretes de limites fundamentais que vou usar (explico cada um de forma didática):
  • Primeiro: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
    Explicação: a função e^{u} tem desenvolvimento em série de Taylor perto de u=0: e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\cdots.Subtraindo 1 e dividindo por u obtemos \frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2}+\cdots,que claramente tende a 1 quando u\to0. Outra justificativa (mais conceitual) é que a derivada de e^{u} em 0 vale 1, e esse limite é exatamente a definição da derivada em 0.
  • Segundo: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
    Explicação: é um limite-padrão das funções trigonométricas. Pode ser provado por desigualdades geométricas (teorema do sanduíche) ou pelo desenvolvimento em série: \sin t = t - \frac{t^{3}}{6}+\cdots,logo \dfrac{\sin t}{t}=1 - \dfrac{t^{2}}{6}+\cdots \to 1 quando t\to0.
Vou usar essas duas ideias para manipular o limite dado.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica útil: usar a identidade trigonométrica \sin 2x=2\sin x\cos x. Assim
\frac{e^{\sin x}-1}{\sin 2x} = \frac{e^{\sin x}-1}{2\sin x\cos x} = \left(\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\right)\cdot\frac{1}{2\cos x}.
Essa escrita separa a expressão em dois fatores: \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x} e \dfrac{1}{2\cos x}.

Passo 4

Avaliar os limites dos dois fatores quando x\to0:
  • Para o primeiro fator, faça a substituição u=\sin x. Quando x\to0, tem-se u=\sin x\to0. Então \lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} =\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1,onde usei o limite fundamental explicado no Passo 2.
  • Para o segundo fator, \lim_{x\to0}\frac{1}{2\cos x}=\frac{1}{2\cdot\cos 0}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2},porque \cos x é contínua e \cos 0=1.
Pelo teorema do limite do produto (o limite do produto é o produto dos limites quando estes existem), o limite total é
\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{\sin x}-1}{\sin 2x}\right) =1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

(Método alternativo — verificação por séries, rápido)
Usando expansões em série para confirmar o resultado:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}), \qquad e^{\sin x}=1+\sin x+\frac{(\sin x)^{2}}{2}+O((\sin x)^{3}).
Assim o numerador vale \sin x + O(x^{2}) e o denominador \sin 2x = 2x + O(x^{3}). Portanto
\frac{e^{\sin x}-1}{\sin 2x}=\frac{\sin x + O(x^{2})}{2x + O(x^{3})} =\frac{x(1+O(x))}{2x(1+O(x^{2}))}\to\frac{1}{2}.
Confirma o resultado anterior.

Passo 6

Dica para prova: é comum reduzir expressões assim escrevendo \sin 2x em termos de \sin x\cos x e reconhecendo o fator \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x} que tende a 1. Lembre-se dos limites padrões \dfrac{e^{u}-1}{u}\to1 e \dfrac{\sin t}{t}\to1; com essas duas cartas na manga muitas questões semelhantes ficam fáceis. Vai dar certo — força aí!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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