Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (úteis):
- A função está definida por uma expressão envolvendo
e . - O ponto de interesse é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lembretes de limites fundamentais que vou usar (explico cada um de forma didática):
- Primeiro:
.
Explicação: a funçãotem desenvolvimento em série de Taylor perto de : Subtraindo e dividindo por obtemos que claramente tende a quando . Outra justificativa (mais conceitual) é que a derivada de em vale , e esse limite é exatamente a definição da derivada em . - Segundo:
.
Explicação: é um limite-padrão das funções trigonométricas. Pode ser provado por desigualdades geométricas (teorema do sanduíche) ou pelo desenvolvimento em série:logo quando .
Vou usar essas duas ideias para manipular o limite dado.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica útil: usar a identidade trigonométrica
. Assim
Essa escrita separa a expressão em dois fatores:
e
.
Passo 4
Avaliar os limites dos dois fatores quando
:
- Para o primeiro fator, faça a substituição
. Quando , tem-se . Então onde usei o limite fundamental explicado no Passo 2. - Para o segundo fator,
porque é contínua e .
Pelo teorema do limite do produto (o limite do produto é o produto dos limites quando estes existem), o limite total é
Passo 5
(Método alternativo — verificação por séries, rápido)
Usando expansões em série para confirmar o resultado:
Usando expansões em série para confirmar o resultado:
Assim o numerador vale
e o denominador
. Portanto
Confirma o resultado anterior.
Passo 6
Dica para prova: é comum reduzir expressões assim escrevendo
em termos de
e reconhecendo o fator
que tende a
. Lembre-se dos limites padrões
e
; com essas duas cartas na manga muitas questões semelhantes ficam fáceis. Vai dar certo — força aí!