Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- Para
o numerador tende a . - O denominador tende a
. - Portanto temos uma forma indeterminada
, e precisamos usar um argumento que resolva essa indeterminação.
Passo 2
Ferramenta básica que vou usar (explicação didática):
- É muito útil lembrar o limite fundamental
Por que isso vale? Duas explicações simples:
- A função exponencial tem derivada
em , e por definição da derivada
- Ou usando a série de Taylor de
em torno de :
daí
Essa é uma ferramenta padrão em provas e cálculos de limites envolvendo exponencial.
Passo 3
Aplicando uma substituição natural para adaptar o limite acima ao problema:
- Seja
. Quando , então (porque tende a também). - Reescrevendo o limite em termos de
:
Agora fatoro o
:
Passo 4
Uso o limite conhecido explicado no Passo 2:
Portanto
Passo 5
Alternativa (útil para a prova): usar a regra de L’Hôpital. Como temos forma
, derivando numerador e denominador em relação a
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A razão das derivadas é
e ao tomar
obtemos
. Mesmo resultado, apenas outro caminho.