Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x^{2}}-1}{5 x^{2}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{e^{x^{2}}-1}{5x^{2}}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • Para x\to 0 o numerador tende a e^{0}-1=0.
  • O denominador tende a 5\cdot0^{2}=0.
  • Portanto temos uma forma indeterminada 0/0, e precisamos usar um argumento que resolva essa indeterminação.

Passo 2

Ferramenta básica que vou usar (explicação didática):
  • É muito útil lembrar o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Por que isso vale? Duas explicações simples:
  1. A função exponencial tem derivada 1 em t=0, e por definição da derivada
\left.\frac{d}{dt}e^{t}\right|_{t=0}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-e^{0}}{t-0}=\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
  1. Ou usando a série de Taylor de e^{t} em torno de 0:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\cdots,
daí
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\cdots\to1\quad\text{quando }t\to0.
Essa é uma ferramenta padrão em provas e cálculos de limites envolvendo exponencial.

Passo 3

Aplicando uma substituição natural para adaptar o limite acima ao problema:
  • Seja u=x^{2}. Quando x\to0, então u\to0 (porque x^{2} tende a 0 também).
  • Reescrevendo o limite em termos de u:
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{5x^{2}} = \lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{5u}.
Agora fatoro o 1/5:
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{5u} = \frac{1}{5}\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Uso o limite conhecido explicado no Passo 2:
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Portanto
\frac{1}{5}\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.

Passo 5

Alternativa (útil para a prova): usar a regra de L’Hôpital. Como temos forma 0/0, derivando numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador: \dfrac{d}{dx}(e^{x^{2}}-1)=2x e^{x^{2}}.
  • Denominador: \dfrac{d}{dx}(5x^{2})=10x.
    A razão das derivadas é
\frac{2x e^{x^{2}}}{10x}=\frac{e^{x^{2}}}{5},
e ao tomar x\to0 obtemos e^{0}/5=1/5. Mesmo resultado, apenas outro caminho.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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