Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0^{-}}[(5-x) \cdot \ln (5-x)]=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-}\bigl[(5-x)\cdot \ln(5-x)\bigr].
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é (5-x)\cdot \ln(5-x).
  • O ponto de aproximação é x=0, pela esquerda (isto é, x\to 0^-).
  • A função \ln(\cdot) exige argumento positivo; portanto é relevante que, ao redor de x=0 vindo pela esquerda, o argumento 5-x permaneça positivo.

Passo 2

Primeiro faço uma mudança de variável simples para enxergar a expressão com clareza. Defina
y = 5-x.
Quando x\to 0^-, temos x negativo e tendendo a 0, então -x é positivo e tende a 0. Logo y=5-x=5+(-x) tende a 5 vindo por valores ligeiramente maiores; em símbolos:
x\to 0^- \quad\Longrightarrow\quad y\to 5^+.
A expressão fica
(5-x)\ln(5-x)=y\ln y,
e o limite original é equivalente a
\lim_{x\to 0^-}(5-x)\ln(5-x)=\lim_{y\to 5^+} y\ln y.

Passo 3

Agora analiso a função g(y)=y\ln y perto de y=5. Dois fatos úteis e simples:
  • A função \ln y é contínua para todo y>0.
  • A função y\mapsto y é contínua em todo lugar.
  • O produto de funções contínuas é contínuo.
Como 5>0, a função g(y)=y\ln y é contínua em y=5. Para funções contínuas vale que o limite quando y\to 5 é simplesmente o valor da função em 5. Assim
\lim_{y\to 5^+} y\ln y = 5\ln 5.
Isso já dá o resultado do limite buscado.

Passo 4

Para reforçar (caso queira ver de outra maneira), faço uma verificação via expansão na vizinhança de y=5. Escreva y=5+h com h\to 0. A expansão de Taylor de \ln(5+h) em torno de h=0 é
\ln(5+h)=\ln 5 + \frac{h}{5}+o(h)\quad\text{quando }h\to 0.
Multiplicando:
y\ln y=(5+h)\biggl(\ln 5+\frac{h}{5}+o(h)\biggr)=5\ln 5 + \text{termos que contêm }h,ê
e esses termos com h tendem a 0 quando h\to 0. Portanto o limite é 5\ln 5, confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido: não houve nenhuma indeterminação estranha — o argumento do log tende a um número positivo — então a substituição direta por continuidade é a forma mais rápida e segura na prova. Mandou bem por trazer essa questão!

Resposta

5\ln 5

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