Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
pela esquerda:
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto de aproximação é
, pela esquerda (isto é, ). - A função
exige argumento positivo; portanto é relevante que, ao redor de vindo pela esquerda, o argumento permaneça positivo.
Passo 2
Primeiro faço uma mudança de variável simples para enxergar a expressão com clareza. Defina
Quando
, temos
negativo e tendendo a
, então
é positivo e tende a
. Logo
tende a
vindo por valores ligeiramente maiores; em símbolos:
A expressão fica
e o limite original é equivalente a
Passo 3
Agora analiso a função
perto de
. Dois fatos úteis e simples:
- A função
é contínua para todo . - A função
é contínua em todo lugar. - O produto de funções contínuas é contínuo.
Como
, a função
é contínua em
. Para funções contínuas vale que o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Assim
Isso já dá o resultado do limite buscado.
Passo 4
Para reforçar (caso queira ver de outra maneira), faço uma verificação via expansão na vizinhança de
. Escreva
com
. A expansão de Taylor de
em torno de
é
Multiplicando:
e esses termos com
tendem a
quando
. Portanto o limite é
, confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Interpretação final e incentivo rápido: não houve nenhuma indeterminação estranha — o argumento do log tende a um número positivo — então a substituição direta por continuidade é a forma mais rápida e segura na prova. Mandou bem por trazer essa questão!