Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
G(s)=\frac{s}{s^{2}+2 s+2}

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)=\frac{s}{s^{2}+2s+2}
e pede para esboçar o diagrama do Lugar das Raízes (root locus). Vou considerar o caso padrão de realimentação unitária com ganho proporcional K\ge0, ou seja, o polinômio característico é 1+K\,G(s)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de malha aberta é G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+2s+2}.
  • O ganho K é o parâmetro que varia e gera o Lugar das Raízes.
  • O que se pede: esboçar o Lugar das Raízes para K variando de 0 a +\infty.

Passo 2

Identificar polos e zeros em malha aberta (pontos de partida e chegada do Lugar das Raízes).
  • Zeros: são raízes do numerador. Aqui o numerador é s, logo há um zero em
s=0.
  • Polos: são raízes do denominador s^{2}+2s+2. Usando a fórmula quadrática:
s=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm j1.
Portanto os polos em malha aberta são em \;s=-1+j1\; e \;s=-1-j1\;.
Interpretação prática (rápida e amistosa): marque no plano complexo um círculo (zero) em 0 e dois xis (polos) em -1\pm j1. Esses são os pontos de partida (polos) e chegada finita (zeros) das trajetórias do Lugar das Raízes.

Passo 3

Número de ramos e comportamento infinito (assíntotas).
  • Número de polos P=2.
  • Número de zeros Z=1.
  • Número de ramos do Lugar das Raízes = P=2.
  • Número de assíntotas (ramos que vão para o infinito) = P-Z=1.
Fórmula da posição do centróide das assíntotas:
\text{centro}=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{P-Z}.
Calcule:
\sum \text{polos}=(-1+j1)+(-1-j1)=-2, \qquad \sum \text{zeros}=0.
Logo
\text{centro}=\frac{-2-0}{1}=-2.
Ângulos das assíntotas dados por
\phi_q=\frac{(2q+1)\pi}{P-Z},\qquad q=0,1,\dots
Com P-Z=1 temos uma única assíntota com
\phi_0=\pi,
ou seja, a assíntota é a semi-reta real negativa (direção para -\infty), iniciando no ponto \operatorname{Re}(s)=-2.

Passo 4

Região no eixo real onde existe Lugar das Raízes (regra do número ímpar).
Regra prática: um ponto real s pertence ao Lugar das Raízes se, à direita desse ponto, o número de polos e zeros reais (contados sobre o eixo real) for ímpar. Aqui há apenas um zero real em s=0 e nenhum polo real. Logo para qualquer ponto real s<0 existe exatamente um zero/polo (o zero em 0) à direita, ou seja, um número ímpar. Conclusão:
  • O Lugar das Raízes está presente em todo o semieixo real negativo, isto é, no intervalo (-\infty,0).
Observação intuitiva: isso significa que quando as raízes se tornarem reais elas estarão sobre o eixo real negativo (entre -\infty e 0).

Passo 5

Equação do polinômio característico e expressão para K em função de s (útil para localizar pontos reais do locus).
A equação característica é
1+K\frac{s}{s^{2}+2s+2}=0.
Rearranjando:
s^{2}+2s+2+K s=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}+(2+K)s+2=0.
Isolando K como função de s (útil para achar pontos de ruptura no eixo real):
K=-\frac{s^{2}+2s+2}{s}.
Explicando: para uma dada posição s real que pertença ao Lugar das Raízes, essa fórmula dá o valor de K necessário para que s seja raiz do polinômio característico.

Passo 6

Pontos de breakaway / break-in (pontos onde ramos se unem ou se separam no eixo real).
Os pontos de ruptura no eixo real satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0 quando usamos K(s). Calcule K(s) e sua derivada:
K(s)=-\frac{s^{2}+2s+2}{s}=-s-2-\frac{2}{s}.
Derivando:
\frac{dK}{ds}=-1+\frac{2}{s^{2}}.
Impondo \dfrac{dK}{ds}=0:
-1+\frac{2}{s^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad s^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad s=\pm\sqrt{2}.
Como estamos interessados em pontos no eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes e na região s<0, pegamos
s=-\sqrt{2}\approx -1{,}414.
Valor do ganho correspondente:
K=-\frac{s^{2}+2s+2}{s}\Bigg|_{s=-\sqrt{2}} =\;2\sqrt{2}-2\approx0{,}828.
Interpretação prática: para K=0 os polos estão em -1\pm j1. À medida que K cresce até aproximadamente 0{,}828, os dois polos complexos conjugados aproximam-se do eixo real e se encontram em s=-\sqrt{2} quando K\approx0{,}828. Para K>0{,}828 os polos tornam-se reais e ficam no eixo real negativo (um vai para 0, o outro vai para -\infty).

Passo 7

Trajetória dos polos (descrição qualitativa completa) e condição de raízes reais/complexas.
A expressão fechada para as raízes em função de K vem da fórmula quadrática aplicada a s^{2}+(2+K)s+2=0:
s(K)=\frac{-(2+K)\pm\sqrt{(2+K)^{2}-8}}{2}.
O discriminante é
\Delta=(2+K)^{2}-8.
  • Se \Delta<0 (i.e. (2+K)^{2}<8 ou K<2\sqrt{2}-2), as raízes são complexas conjugadas. Então, para 0\le K<2\sqrt{2}-2 os polos ficam em -1\pm j1 para K=0 e descrevem arcos simétricos até se encontrarem no eixo real.
  • Se \Delta=0 (i.e. K=2\sqrt{2}-2), há uma raiz dupla real em
s=-\frac{2+K}{2}=-\sqrt{2}.
  • Se \Delta>0 (i.e. K>2\sqrt{2}-2), as raízes são reais distintas e pertencem ao eixo real negativo; uma delas tende para s=0 quando K cresce (pois há um zero em 0), e a outra tende para -\infty seguindo a assíntota real com centro em -2.

Passo 8

Ângulos de partida (departure angles) dos polos complexos — como o ramo sai dos polos no plano complexo.
Fórmula prática: para uma polo p_k a ângulo de partida \theta satisfaz
\theta=\pi -\Big(\sum \text{ângulos dos zeros vistos de }p_k\;-\;\sum \text{ângulos dos demais polos vistos de }p_k\Big).ââ
Calcule para o polo p_1=-1+j1:
  • Ângulo do vetor do zero em 0 para p_1: vetor p_1-0=-1+j1 tem ângulo \angle=-\!\! não; melhor ver do polo em direção ao zero (módulo de sinal) — usando a soma adequada, obtemos a contribuição de \;135^\circ=\tfrac{3\pi}{4}\; (vetor do zero para o polo tem ângulo 135^\circ).
  • Ângulo do outro polo p_2=-1-j1 visto de p_1: vetor p_1-p_2=2j tem ângulo 90^\circ=\tfrac{\pi}{2}.
Aplicando a fórmula:
\theta=\pi-\big( \tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{\pi}{2}\big)=\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.
Então a saída do ramo no polo superior é com ângulo \tfrac{3\pi}{4} (135°) medida a partir do eixo real positivo; simetricamente o polo conjugado tem ângulo de partida -\tfrac{3\pi}{4} (–135°). Isso corresponde aos ramos que inicialmente vão “para cima e para baixo” descrevendo arcos simétricos até atingir o eixo real em s=-\sqrt{2}.

Passo 9

Resumo prático para o esboço (passo a passo do que desenhar) — isto é o que você deve traçar no papel para obter o esboço correto.
  • Marque um círculo (zero) em \;s=0.
  • Marque dois xis (polos) em \;s=-1\pm j1.
  • Desenhe setas mostrando que, para K aumentando a partir de 0, os polos em -1\pm j1 se movem em arcos simétricos (um para cima, outro para baixo) saindo com ângulos \pm\tfrac{3\pi}{4}.
  • Os ramos se encontram no eixo real em s=-\sqrt{2}\approx-1{,}414 quando K=2\sqrt{2}-2\approx0{,}828.
  • Para K>0{,}828 os dois ramos ficam no eixo real negativo; um segue para a direita e termina no zero em s=0 à medida que K\to+\infty, o outro segue para a esquerda e acompanha a assíntota em direção a -\infty.
  • Marque a assíntota: há uma assíntota única com centro em \operatorname{Re}(s)=-2 e ângulo \pi (i.e. a direção real negativa).
  • Indique setas ao longo das curvas no sentido do aumento de K.

Resposta

Polos em \;s=-1\pm j1\;, zero em \;s=0.\nOs dois ramos partem dos polos complexos e, para K aumentando, descrevem arcos simétricos saindo com ângulos \pm\tfrac{3\pi}{4}, encontram-se no eixo real em \;s=-\sqrt{2}\approx-1{,}414\; quando K=2\sqrt{2}-2\approx0{,}828. Para K>2\sqrt{2}-2 os ramos ficam reais: um vai para \;s=0 (zero finito) e o outro vai para -\infty seguindo a assíntota única com centro em \operatorname{Re}(s)=-2 e ângulo \pi.

Exercícios relacionados