(2.0 pts) Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS, justificando em cada caso sua resposta.
a) ( ) Todas as soluções da equação diferencial
são funções decrescentes.
b) ( ) A equação diferencial
é linear.
c) ( ) É possível determinar a função
de modo que a equação
seja exata.
d) ( ) Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.
a) ( ) Todas as soluções da equação diferencial
b) ( ) A equação diferencial
c) ( ) É possível determinar a função
d) ( ) Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.
Passo 1
O enunciado lista quatro afirmações que devo classificar como VERDADEIRAS ou FALSAS, justificando cada resposta. As afirmações são:
(a) ( ) Todas as soluções da equação diferencial
são funções decrescentes.
(b) ( ) A equação diferencial
é linear.
(c) ( ) É possível determinar a função
de modo que a equação
seja exata.
(d) ( ) Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.
Informações relevantes dadas em cada item:
- Item (a): a equação é
. - Item (b): a equação é
. - Item (c): o termo multiplicando
é ; pede-se saber se existe tal que a forma diferencial seja exata. - Item (d): afirmação geral sobre equações separáveis de primeira ordem.
Passo 2
(a) Vamos entender o que significa “funções decrescentes” no contexto de equações diferenciais e aplicar ao caso dado.
Definição e ideia-chave:
- Uma função
é decrescente num intervalo se, para todo nesse intervalo, sua derivada satisfaz ; se em todo o intervalo, a função é estritamente decrescente. - Aqui a equação dá explicitamente
com .
Análise da função do lado direito:
- Para todo
vale . Logo . - Assim, para qualquer solução
e para todo no domínio da solução, tem-se
Conclusão lógica:
- Como a derivada de qualquer solução é estritamente negativa em todo ponto do seu domínio, todas as soluções são estritamente decrescentes (não existem pontos de crescimento nem equilíbrios).
Observação curta sobre existência: a função do lado direito é contínua e Lipschitz localmente em
, então existem soluções únicas dadas condições iniciais; independentemente disso, sempre
.
Passo 3
(b) Vamos lembrar a definição de equação diferencial linear de primeira ordem e aplicar ao caso.
Definição:
- Uma equação diferencial de primeira ordem é linear em
se pode ser escrita como
onde
e
são funções que dependem somente de
(não de
).
Análise do item:
- A equação dada é
. - O termo no lado direito é
, que depende explicitamente de , não apenas de .
Conclusão lógica:
- Como o termo independente do lado direito depende de
, a equação não se encaixa na forma com dependendo só de . Portanto, a equação é não linear.
Passo 4
(c) Queremos saber se existe
tal que a 1-forma
seja exata.
Recordando a condição de exatidão:
- Uma forma
é exata num domínio se existem derivadas parciais contínuas e
em todo o domínio considerado.
Cálculo de
:
- Vamos derivar
em relação a , tratando como constante. - Para
aplicamos a regra do produto:
- Para
: . - Para
: . - Somando,
Procurando
tal que
:
- Integramos
em relação a para obter uma expressão para , à menos de uma função arbitrária de , digamos :
- Calculemos cada termo:
- Note que
. Logo
-
-
(pois é tratado como constante).
- Note que
- Assim
Verificação rápida:
- Diferenciando
em relação a ,
que coincide com
calculada antes, para qualquer função
(pois
some ao derivar em relação a
).
- Portanto existe, sim,
. Por exemplo, tomando obtém-se explicitamente
Observação sobre domínio:
- A expressão envolve
e , então tudo faz sentido num domínio que exclui . Em qualquer domínio onde essas funções sejam bem definidas e suaves, a forma é exata.
Passo 5
(d) Vamos analisar a afirmação geral: “Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.”
Definição e manipulação padrão de equação separável:
- Uma equação de primeira ordem é separável se pode ser escrita como
onde
depende só de
e
só de
.
- Reescrevendo, obtemos
Isto é uma 1-forma na forma
com
Verificação da condição de exatidão:
- Calcule
. Como depende apenas de , tem-se . - Calcule
. Como depende apenas de , tem-se . - Portanto
, e a forma é exata (em qualquer domínio onde e as funções sejam diferenciáveis).
Observações e exceções a mencionar:
- Se
em certos valores de , esses podem corresponder a soluções constantes (soluções singulares), que devem ser tratadas à parte. Fora desses pontos singulares, a manipulação acima mostra que a forma é exata. - Logo, na prática, qualquer equação separável pode ser escrita de maneira que a 1-forma correspondente seja exata (em domínios onde as divisões feitas são válidas).
Conclusão: a afirmação é verdadeira, com a ressalva habitual sobre domínios onde as expressões envolvidas estão definidas.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira