(2.0 pts) Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS, justificando em cada caso sua resposta.
a) ( ) Todas as soluções da equação diferencial y^{\prime}=-1-y^{4} são funções decrescentes.
b) ( ) A equação diferencial y^{\prime}+x^{2} y=e^{y} é linear.
c) ( ) É possível determinar a função M(x, y) de modo que a equação M(x, y) d x+\left(x e^{x y}+2 x y+\frac{1}{x}\right) d y=0 seja exata.
d) ( ) Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.

Passo 1

O enunciado lista quatro afirmações que devo classificar como VERDADEIRAS ou FALSAS, justificando cada resposta. As afirmações são:
(a) ( ) Todas as soluções da equação diferencial y'=-1-y^{4} são funções decrescentes.
(b) ( ) A equação diferencial y'+x^{2}y=e^{y} é linear.
(c) ( ) É possível determinar a função M(x,y) de modo que a equação M(x,y)\,dx+\bigl(xe^{xy}+2xy+\tfrac{1}{x}\bigr)\,dy=0 seja exata.
(d) ( ) Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.
Informações relevantes dadas em cada item:
  • Item (a): a equação é y'=-1-y^{4}.
  • Item (b): a equação é y'+x^{2}y=e^{y}.
  • Item (c): o termo multiplicando dy é N(x,y)=x e^{xy}+2xy+\tfrac{1}{x}; pede-se saber se existe M(x,y) tal que a forma diferencial seja exata.
  • Item (d): afirmação geral sobre equações separáveis de primeira ordem.

Passo 2

(a) Vamos entender o que significa “funções decrescentes” no contexto de equações diferenciais e aplicar ao caso dado.
Definição e ideia-chave:
  • Uma função y(x) é decrescente num intervalo se, para todo x nesse intervalo, sua derivada satisfaz y'(x)\le 0; se y'(x)<0 em todo o intervalo, a função é estritamente decrescente.
  • Aqui a equação dá explicitamente y'(x)=f(y(x)) com f(y)=-1-y^{4}.
Análise da função do lado direito:
  • Para todo y\in\mathbb{R} vale y^{4}\ge 0. Logo -1-y^{4}\le -1 <0.
  • Assim, para qualquer solução y(x) e para todo x no domínio da solução, tem-se
y'(x)=-1-y(x)^{4}<0.
Conclusão lógica:
  • Como a derivada de qualquer solução é estritamente negativa em todo ponto do seu domínio, todas as soluções são estritamente decrescentes (não existem pontos de crescimento nem equilíbrios).
Observação curta sobre existência: a função do lado direito é contínua e Lipschitz localmente em y, então existem soluções únicas dadas condições iniciais; independentemente disso, sempre y'<0.

Passo 3

(b) Vamos lembrar a definição de equação diferencial linear de primeira ordem e aplicar ao caso.
Definição:
  • Uma equação diferencial de primeira ordem é linear em y se pode ser escrita como
y'+P(x)y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções que dependem somente de x (não de y).
Análise do item:
  • A equação dada é y'+x^{2}y=e^{y}.
  • O termo no lado direito é e^{y}, que depende explicitamente de y, não apenas de x.
Conclusão lógica:
  • Como o termo independente do lado direito depende de y, a equação não se encaixa na forma y'+P(x)y=Q(x) com Q dependendo só de x. Portanto, a equação é não linear.

Passo 4

(c) Queremos saber se existe M(x,y) tal que a 1-forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, \qquad\text{com }N(x,y)=x e^{xy}+2xy+\tfrac{1}{x},
seja exata.
Recordando a condição de exatidão:
  • Uma forma M\,dx+N\,dy é exata num domínio se existem derivadas parciais contínuas e
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
em todo o domínio considerado.
Cálculo de \dfrac{\partial N}{\partial x}:
  • Vamos derivar N(x,y)=x e^{xy}+2xy+\tfrac{1}{x} em relação a x, tratando y como constante.
  • Para x e^{xy} aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{xy}\bigr)=e^{xy}+x\cdot e^{xy}\cdot y = e^{xy}(1+xy).
  • Para 2xy: \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
  • Para \tfrac{1}{x}: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=-\tfrac{1}{x^{2}}.
  • Somando,
\frac{\partial N}{\partial x}=e^{xy}(1+xy)+2y-\frac{1}{x^{2}}.
Procurando M tal que \partial M/\partial y=\partial N/\partial x:
  • Integramos \dfrac{\partial N}{\partial x} em relação a y para obter uma expressão para M(x,y), à menos de uma função arbitrária de x, digamos h(x):
M(x,y)=\int\!\left[e^{xy}(1+xy)+2y-\frac{1}{x^{2}}\right]dy + h(x).
  • Calculemos cada termo:
    • Note que \dfrac{d}{dy}\bigl(y e^{xy}\bigr)=e^{xy}+xy e^{xy}=e^{xy}(1+xy). Logo
    \int e^{xy}(1+xy)\,dy = y e^{xy}.
    • \displaystyle \int 2y\,dy = y^{2}.
    • \displaystyle \int -\frac{1}{x^{2}}\,dy = -\frac{y}{x^{2}} (pois x é tratado como constante).
  • Assim
M(x,y)=y e^{xy}+y^{2}-\frac{y}{x^{2}}+h(x).
Verificação rápida:
  • Diferenciando M em relação a y,
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{xy}+xy e^{xy}+2y-\frac{1}{x^{2}},
que coincide com \dfrac{\partial N}{\partial x} calculada antes, para qualquer função h(x) (pois h'(x) some ao derivar em relação a y).
  • Portanto existe, sim, M(x,y). Por exemplo, tomando h(x)=0 obtém-se explicitamente
M(x,y)=y e^{xy}+y^{2}-\frac{y}{x^{2}}.
Observação sobre domínio:
  • A expressão envolve 1/x e 1/x^{2}, então tudo faz sentido num domínio que exclui x=0. Em qualquer domínio onde essas funções sejam bem definidas e suaves, a forma é exata.

Passo 5

(d) Vamos analisar a afirmação geral: “Toda equação diferencial separável de primeira ordem é exata.”
Definição e manipulação padrão de equação separável:
  • Uma equação de primeira ordem é separável se pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=A(x)\,B(y),
onde A depende só de x e B só de y.
  • Reescrevendo, obtemos
\frac{1}{B(y)}\,dy - A(x)\,dx = 0.
Isto é uma 1-forma na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=-A(x),\qquad N(x,y)=\frac{1}{B(y)}.
Verificação da condição de exatidão:
  • Calcule \partial M/\partial y. Como M(x,y)=-A(x) depende apenas de x, tem-se \dfrac{\partial M}{\partial y}=0.
  • Calcule \partial N/\partial x. Como N(x,y)=1/B(y) depende apenas de y, tem-se \dfrac{\partial N}{\partial x}=0.
  • Portanto \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=0, e a forma é exata (em qualquer domínio onde B(y)\neq 0 e as funções sejam diferenciáveis).
Observações e exceções a mencionar:
  • Se B(y)=0 em certos valores de y, esses y podem corresponder a soluções constantes y(x)=y_{0} (soluções singulares), que devem ser tratadas à parte. Fora desses pontos singulares, a manipulação acima mostra que a forma é exata.
  • Logo, na prática, qualquer equação separável pode ser escrita de maneira que a 1-forma correspondente seja exata (em domínios onde as divisões feitas são válidas).
Conclusão: a afirmação é verdadeira, com a ressalva habitual sobre domínios onde as expressões envolvidas estão definidas.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira

Exercícios relacionados