Calcule os limites usando derivada implícita:
Passo 1
O enunciado dá a função inversa
.
As perguntas que vou responder são (interpretando “Calcule os limites” como os limites que aparecem naturalmente pela definição de derivada):
As perguntas que vou responder são (interpretando “Calcule os limites” como os limites que aparecem naturalmente pela definição de derivada):
- Calcular
. - Calcular, para um ponto fixo
, .
Informações relevantes fornecidas:
- A relação entre
e é a inversa da tangente: , o que implica .
Passo 2
Transformar a definição inversa em uma igualdade que facilite diferenciação. A partir de
temos
Isto é só escrever a função inversa no formato mais direto. Agora vamos diferenciar essa igualdade em relação a
usando diferenciação implícita.
Explicando a ideia da diferenciação implícita (passo didático): quando
é uma função de
, derivar uma expressão que envolve
exige a regra da cadeia. Se temos uma função composta
, a derivada em relação a
é
. Aqui
será a função
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
é vezes (pela regra da cadeia): . - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Isolando
(que é
):
Agora escrevemos essa derivada em termos de
. Usamos a identidade trigonométrica
Como
(peguei isso do enunciado), substituímos:
Logo
Resumindo: a derivada de
é
Passo 3
Explicar por que isso resolve os limites pedidos. A definição de derivada em um ponto
é exatamente o limite do quociente incremental:
Aplicando isto a
, temos para qualquer
:
Como já encontramos
, avaliando em
obtemos
Isto é uma forma direta e limpa de calcular o limite usando a derivada obtida por diferenciação implícita.
Passo 4
Aplicar o resultado ao caso particular
, que é o primeiro limite pedido. Substituindo
em
obtemos
Como
, isto é exatamente