Calcule os limites usando derivada implícita:
y=\operatorname{arctg}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função inversa
\;y=\arctan(x)\;.
As perguntas que vou responder são (interpretando “Calcule os limites” como os limites que aparecem naturalmente pela definição de derivada):
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}.
  • Calcular, para um ponto fixo \;a\in\mathbb{R}\;, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é a inversa da tangente: \;y=\arctan(x)\;, o que implica \;\tan y = x.

Passo 2

Transformar a definição inversa em uma igualdade que facilite diferenciação. A partir de \;y=\arctan(x)\; temos
\tan y = x.
Isto é só escrever a função inversa no formato mais direto. Agora vamos diferenciar essa igualdade em relação a x usando diferenciação implícita.
Explicando a ideia da diferenciação implícita (passo didático): quando y é uma função de x, derivar uma expressão que envolve y exige a regra da cadeia. Se temos uma função composta f(y(x)), a derivada em relação a x é f'(y)\cdot y'(x). Aqui f será a função \tan(\cdot).
Derivando \tan y = x em relação a x:
  • A derivada de \tan y é \operatorname{sec}^2 y vezes y' (pela regra da cadeia): \dfrac{d}{dx}(\tan y)=\operatorname{sec}^2 y\cdot y'.
  • A derivada de x em relação a x é 1.
Portanto:
\operatorname{sec}^2 y\cdot y' = 1.
Isolando y' (que é \dfrac{dy}{dx}):
y' = \frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
Agora escrevemos essa derivada em termos de x. Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^2 y = 1+\tan^2 y.
Como \tan y = x (peguei isso do enunciado), substituímos:
\operatorname{sec}^2 y = 1+x^2.
Logo
y' = \frac{1}{1+x^2}.
Resumindo: a derivada de \arctan x é
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Explicar por que isso resolve os limites pedidos. A definição de derivada em um ponto a é exatamente o limite do quociente incremental:
y'(a)=\lim_{x\to a}\frac{y(x)-y(a)}{x-a}.
Aplicando isto a y(x)=\arctan x, temos para qualquer a\in\mathbb{R}:
\lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a} = y'(a).
Como já encontramos y'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}, avaliando em x=a obtemos
\lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a}=\frac{1}{1+a^2}.
Isto é uma forma direta e limpa de calcular o limite usando a derivada obtida por diferenciação implícita.

Passo 4

Aplicar o resultado ao caso particular a=0, que é o primeiro limite pedido. Substituindo a=0 em
\lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a}=\frac{1}{1+a^2}
obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-\arctan 0}{x-0}=\frac{1}{1+0^2} = 1.
Como \arctan 0 = 0, isto é exatamente
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\arctan x-\arctan a}{x-a}=\frac{1}{1+a^{2}}

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