Calcule os limites usando L’Hóspetal
Passo 1
O enunciado pede claramente o valor do limite
Informações dadas:
- A função que aparece no quociente é o numerador
dividido pelo denominador . - O ponto onde se toma o limite é
.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente na expressão para ver o tipo de forma indeterminada.
Como ao substituir obtemos
, temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso justifica o uso da Regra de L’Hôpital (quando aplicável).
Passo 3
Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão para
):
Sejam e
diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
Sejam
e
perto de
. Se existir o limite
então
Explicando em palavras: quando a substituição direta dá
, podemos derivar numerador e denominador separadamente e calcular o limite do quociente das derivadas (desde que as derivadas existam e o novo limite exista).
Passo 4
Calcular as derivadas do numerador e do denominador:
- Numerador
. Derivada:
(Justificativa: a derivada de
é
; a derivada de uma constante é
.)
- Denominador
. Derivada:
(Justificativa: derivada de
é
; constante tem derivada
.)
Passo 5
Aplicando L’Hôpital:
Agora a substituição direta já não é indeterminada:
Passo 6
Comentário extra (útil para a prova): há também um método algébrico curto que dá o mesmo resultado sem L’Hôpital — fatorando o numerador:
então
Tomando
obtemos
. Ambos os métodos dão o mesmo resultado; aqui foi pedido usar L’Hôpital, por isso segui esse caminho.