Calcule os limites usando L’Hóspetal
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede claramente o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Informações dadas:
  • A função que aparece no quociente é o numerador x^{2}-4 dividido pelo denominador x-2.
  • O ponto onde se toma o limite é x=2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=2 diretamente na expressão para ver o tipo de forma indeterminada.
\text{Numerador: }(2)^{2}-4 = 4-4 = 0, \qquad \text{Denominador: }2-2 = 0.
Como ao substituir obtemos 0/0, temos uma forma indeterminada do tipo 0/0. Isso justifica o uso da Regra de L’Hôpital (quando aplicável).

Passo 3

Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão para 0/0):
Sejam f e g diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e g'(x)\neq 0 perto de a. Se existir o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicando em palavras: quando a substituição direta dá 0/0, podemos derivar numerador e denominador separadamente e calcular o limite do quociente das derivadas (desde que as derivadas existam e o novo limite exista).

Passo 4

Calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Numerador f(x)=x^{2}-4. Derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})-\frac{d}{dx}(4)=2x-0=2x.
(Justificativa: a derivada de x^{2} é 2x; a derivada de uma constante é 0.)
  • Denominador g(x)=x-2. Derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)=1-0=1.
(Justificativa: derivada de x é 1; constante tem derivada 0.)

Passo 5

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2} =\lim_{x\to 2}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 2}\frac{2x}{1}.
Agora a substituição direta já não é indeterminada:
\lim_{x\to 2}\frac{2x}{1}=2\cdot 2=4.

Passo 6

Comentário extra (útil para a prova): há também um método algébrico curto que dá o mesmo resultado sem L’Hôpital — fatorando o numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
então
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad (x\neq 2).
Tomando x\to 2 obtemos 2+2=4. Ambos os métodos dão o mesmo resultado; aqui foi pedido usar L’Hôpital, por isso segui esse caminho.

Resposta

4

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