e pede para calcular a derivada usando derivada implícita. Ou seja, assumimos que y é função de x (escrevemos y=y(x)) e queremos encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y. As informações relevantes são:
A relação entre x e y é \;3x+4y=\cos(xy)\;.
A incógnita que queremos é \dfrac{dy}{dx} (também denotada por y').
Devemos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y depende de x.
Passo 2
Lembrete das regras de diferenciação que vamos usar:
Derivada de 3x em relação a x é 3.
Derivada de 4y em relação a x é 4y', porque 4 é constante e y depende de x.
Derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia), onde u é a função interna.
Aqui a função interna é u(x)=xy. Para u=xy usamos a regra do produto: u'=(x)'\cdot y + x\cdot (y)' = 1\cdot y + x y' = y + x y'.
Agora diferenciamos os dois lados da equação em relação a x. Derivando o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}(3x+4y)=3+4y'.
Derivando o lado direito usando regra da cadeia e do produto:
\frac{d}{dx}\big(\cos(xy)\big) = -\sin(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy) = -\sin(xy)\cdot\big(y + x y'\big).
Passo 3
Igualamos as duas derivadas obtidas:
3 + 4y' = -\sin(xy)\big(y + x y'\big).
Vamos agora isolar y'. Primeiro expandimos o lado direito:
3 + 4y' = -\sin(xy)\,y - \sin(xy)\,x y'.
Colocamos todos os termos com y' num lado e os restantes no outro:
4y' + \sin(xy)\,x y' = -\sin(xy)\,y - 3.
Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\big(4 + x\sin(xy)\big) = -\sin(xy)\,y - 3.
Passo 4
Finalmente, isolamos y' dividindo pelo fator \big(4 + x\sin(xy)\big), desde que esse fator não seja zero:
y' = \frac{-\sin(xy)\,y - 3}{4 + x\sin(xy)}.
Aqui \;y'=\dfrac{dy}{dx}\; e a fórmula dá a derivada implícita em termos de x e y.
Passo 5
Observações úteis para a prova (bem práticas):
A fórmula só é válida quando o denominador \;4 + x\sin(xy)\; for diferente de zero. Se esse denominador for zero em algum ponto que satisfaça a equação original, aí a derivada \dfrac{dy}{dx} não existe (possível tangente vertical).
Para calcular \dfrac{dy}{dx} num ponto específico (x_0,y_0), primeiro verifique que (x_0,y_0) satisfaz a equação \;3x+4y=\cos(xy)\;, e então substitua x=x_0 e y=y_0 na fórmula acima.
Exemplo rápido e concreto: para x=0 substitui-se na equação original e obtém-se 4y=\cos(0)=1, logo y=\tfrac{1}{4}. Aplicando a fórmula,