Calcule os limites usando L’Hóspetal
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1-4 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável tende para \,0.
  • O numerador é \,e^{4x}-1-4x.
  • O denominador é \,x^{2}.
    O que se pede: o valor numérico do limite quando x vai a 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se temos uma forma indeterminada.
Substituindo x=0 em cada parte:
e^{4\cdot 0}-1-4\cdot 0 = e^{0}-1-0 = 1-1=0,
e
x^{2}\big|_{x=0}=0.
Logo a expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, que é indeterminada — portanto podemos tentar usar a regra de L’Hôpital conforme pedido no enunciado.

Passo 3

Breve explicação da regra de L’Hôpital (intuição e condições):
  • A regra diz que, se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Pode ser aplicada repetidamente se a primeira aplicação ainda deixar uma forma indeterminada.
  • Aqui: f(x)=e^{4x}-1-4x e g(x)=x^{2} satisfazem as hipóteses (são diferenciáveis), então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez: calcular as derivadas de numerador e denominador.
Derivada do numerador f(x)=e^{4x}-1-4x:
  • Derivada de e^{4x} pelo uso da regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x}.
  • Derivada de -1 é 0.
  • Derivada de -4x é -4.
    Portanto
f'(x)=4e^{4x}-4.
Derivada do denominador g(x)=x^{2}:
g'(x)=2x.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{4e^{4x}-4}{2x}.

Passo 5

Testar a nova forma ao aproximar x\to 0:
4e^{4\cdot 0}-4 = 4\cdot 1 -4 =0, \qquad 2x\big|_{x=0}=0,
ainda temos a forma \dfrac{0}{0}. Então aplicamos L’Hôpital de novo (aplicação repetida é permitida quando ainda há indeterminação).

Passo 6

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivar novamente numerador e denominador.
Derivada de 4e^{4x}-4:
  • Derivada de 4e^{4x} é 4\cdot 4e^{4x}=16e^{4x}.
  • Derivada de -4 é 0.
    Logo a segunda derivada do numerador é 16e^{4x}.
Derivada de 2x é 2.
Portanto, pela regra,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{16e^{4x}}{2}.
Agora essa fração é contínua em x=0, podemos substituir diretamente:
\lim_{x\to 0}\frac{16e^{4x}}{2}=\frac{16\cdot e^{0}}{2}=\frac{16\cdot 1}{2}=8.

Passo 7

Verificação alternativa (intuição com série de Taylor) — rápido check para memorizar a ideia:
  • Expansão de e^{4x} em série de Taylor em torno de 0:
e^{4x}=1+4x+\frac{(4x)^{2}}{2!}+\cdots=1+4x+8x^{2}+\cdots.
Substituindo no numerador:
e^{4x}-1-4x=(1+4x+8x^{2}+\cdots)-1-4x=8x^{2}+\cdots.
Dividindo por x^{2} e tomando x\to 0 8. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

8

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