O denominador é \,x^{2}.
O que se pede: o valor numérico do limite quando x vai a 0.
Passo 2
Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se temos uma forma indeterminada.
Substituindo x=0 em cada parte:
e^{4\cdot 0}-1-4\cdot 0 = e^{0}-1-0 = 1-1=0,
e
x^{2}\big|_{x=0}=0.
Logo a expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, que é indeterminada — portanto podemos tentar usar a regra de L’Hôpital conforme pedido no enunciado.
Passo 3
Breve explicação da regra de L’Hôpital (intuição e condições):
A regra diz que, se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se o limite