Calcule os limites usando L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1-4 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão \dfrac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
O que vamos determinar: o valor numérico desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação ao substituir x=0.
Calcular o numerador em x=0:
e^{4\cdot 0}-1-4\cdot 0 = e^{0}-1-0 = 1-1 = 0.
O denominador em x=0 é 0^{2}=0.
Portanto temos a forma indeterminada 0/0. Nesses casos podemos usar o Teorema de L’Hôspital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e se f' e g' existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja \pm\infty). Vamos aplicar L’Hôspital.

Passo 3

Calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador f(x)=e^{4x}-1-4x:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{4x}\big)-\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(4x)=4e^{4x}-0-4=4e^{4x}-4.
Derivada do denominador g(x)=x^{2}:
g'(x)=2x.
Pelo Teorema de L’Hôspital,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{4e^{4x}-4}{2x}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida e verificar indeterminação novamente.
Escrevendo a fração:
\frac{4e^{4x}-4}{2x}=\frac{4\big(e^{4x}-1\big)}{2x}=2\cdot\frac{e^{4x}-1}{x}.
Avaliar o comportamento quando x\to 0: numerador \,e^{4x}-1\to 0 e denominador x\to 0 — ainda temos a forma 0/0. Portanto podemos aplicar L’Hôspital mais uma vez ao quociente \dfrac{e^{4x}-1}{x}.

Passo 5

Aplicar L’Hôspital à função \dfrac{e^{4x}-1}{x}.
Derivada do numerador \,e^{4x}-1 é 4e^{4x}.
Derivada do denominador x é 1.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{4e^{4x}}{1}=4e^{0}=4.
Voltando ao fator fora da fração (veja Passo 4), temos
\lim_{x\to 0}2\cdot\frac{e^{4x}-1}{x}=2\cdot 4 = 8.

Passo 6

Verificação alternativa (só para entender intuitivamente): desenvolver e^{4x} em série de Taylor em torno de 0:
e^{4x}=1+4x+\frac{(4x)^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior}=1+4x+8x^{2}+o(x^{2}).
Substituindo no numerador:
e^{4x}-1-4x = 8x^{2}+o(x^{2}).
Dividindo por x^{2} e fazendo x\to 0 obtém-se 8. Isso confirma o resultado encontrado com L’Hôspital.

Resposta

8

Exercícios relacionados