Calcule os limites usando L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão
. - O ponto de interesse é
.
O que vamos determinar: o valor numérico desse limite quando
tende a
.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação ao substituir
.
Calcular o numerador em
:
O denominador em
é
.
Portanto temos a forma indeterminada
. Nesses casos podemos usar o Teorema de L’Hôspital: se
e
e se
e
existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja
). Vamos aplicar L’Hôspital.
Passo 3
Calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Pelo Teorema de L’Hôspital,
Passo 4
Simplificar a expressão obtida e verificar indeterminação novamente.
Escrevendo a fração:
Avaliar o comportamento quando
: numerador
e denominador
— ainda temos a forma
. Portanto podemos aplicar L’Hôspital mais uma vez ao quociente
.
Passo 5
Aplicar L’Hôspital à função
.
Derivada do numerador
é
.
Derivada do denominador é
.
Derivada do denominador
Logo
Voltando ao fator fora da fração (veja Passo 4), temos
Passo 6
Verificação alternativa (só para entender intuitivamente): desenvolver
em série de Taylor em torno de
:
Substituindo no numerador:
Dividindo por
e fazendo
obtém-se
. Isso confirma o resultado encontrado com L’Hôspital.
Resposta
8