Calcule os limites usando L’Hôspital:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- É preciso calcular o limite
. - A expressão está definida para
. - Importante: o termo
muda de sinal quando muda de sinal, então o comportamento quando pode ser diferente do comportamento quando . Portanto vamos estudar os dois limites laterais: -
, -
.
Nada mais será resolvido aqui — só identificamos o que é pedido e quais informações temos.
-
Passo 2
Lembrete (ferramenta pedida): Regra de L’Hôpital
- Enunciado da regra (versão usada): se existem funções
diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no ponto) e se, quando tende a um limite, os limites de e são ambos ou ambos (formas indeterminadas ou ), então, se o limite existe (é finito ou ), vale - O que isso significa na prática: só se aplica quando temos uma fração numa das formas indeterminadas citadas; não se aplica em forma já determinada (por exemplo
já é , não se usa L’Hôpital). - Vou usar essa regra sempre que a reescrita do limite produzir uma forma
ou .
Passo 3
Estudo do limite pela direita:
.
- Fazer a mudança de variável usual para este tipo de exponencial: seja
. Para temos . - Reescrevendo a função:
- Agora raciocínio sobre o comportamento quando
: -
muito mais rápido que qualquer potência de . Assim . - Como
e o denominador tende a , o quociente tende a .
-
- Observação sobre L’Hôpital: a forma original em
é , que corresponde a (não indeterminada) — logo L’Hôpital não se aplica aqui; por isso usamos a argumentação direta (ou, se preferir, pode-se provar que aplicando L’Hôpital em e então inverter). Conclusão:
Passo 4
Estudo do limite pela esquerda:
.
- Novamente fazemos uma mudança de variável que torne o expoente positivo: para
define-se . Quando temos . - Reescrevendo:
Assim - Agora a expressão em
é , que é da forma quando . Aqui L’Hôpital se aplica. Aplicamos a regra: - Derivando numerador e denominador uma vez:
Logo a expressão passa a que ainda é da forma quando . - Aplicamos L’Hôpital novamente:
então a nova expressão é Quando isso tende a .
- Derivando numerador e denominador uma vez:
- Conclusão:
, portanto
Passo 5
Conclusão final e interpretação:
- Os limites laterais são diferentes:
- pela direita o limite vale
; - pela esquerda o limite diverge para
.
- pela direita o limite vale
- Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral
não existe (no sentido de limite finito). Intuitivamente: para o fator é extremamente pequeno e vence o ; para o fator explode, vencendo o pequeno .