Calcule os limites usando L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} e^{-1 / x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • É preciso calcular o limite \lim_{x\to 0} x^{2}e^{-1/x}.
  • A expressão está definida para x\neq 0.
  • Importante: o termo -1/x muda de sinal quando x muda de sinal, então o comportamento quando x\to 0^{+} pode ser diferente do comportamento quando x\to 0^{-}. Portanto vamos estudar os dois limites laterais:
    • \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}e^{-1/x},
    • \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} x^{2}e^{-1/x}.
      Nada mais será resolvido aqui — só identificamos o que é pedido e quais informações temos.

Passo 2

Lembrete (ferramenta pedida): Regra de L’Hôpital
  • Enunciado da regra (versão usada): se existem funções f,g diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no ponto) e se, quando t tende a um limite, os limites de f(t) e g(t) são ambos 0 ou ambos \pm\infty (formas indeterminadas 0/0 ou \infty/\infty), então, se o limite \lim \frac{f'(t)}{g'(t)}existe (é finito ou \pm\infty), vale \lim \frac{f(t)}{g(t)} = \lim \frac{f'(t)}{g'(t)}.
  • O que isso significa na prática: só se aplica quando temos uma fração numa das formas indeterminadas citadas; não se aplica em forma já determinada (por exemplo 0/\infty já é 0, não se usa L’Hôpital).
  • Vou usar essa regra sempre que a reescrita do limite produzir uma forma 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 3

Estudo do limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}e^{-1/x}.
  • Fazer a mudança de variável usual para este tipo de exponencial: seja t=\dfrac{1}{x}. Para x\to 0^{+} temos t\to +\infty.
  • Reescrevendo a função: x^{2}e^{-1/x} = \frac{1}{t^{2}} e^{-t} = \frac{e^{-t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}e^{t}}.
  • Agora raciocínio sobre o comportamento quando t\to +\infty:
    • e^{t}\to +\infty muito mais rápido que qualquer potência de t. Assim t^{2}e^{t}\to +\infty.
    • Como \dfrac{e^{-t}}{t^{2}} = \dfrac{1}{t^{2}e^{t}} e o denominador tende a +\infty, o quociente tende a 0.
  • Observação sobre L’Hôpital: a forma original em t é e^{-t}/t^{2}, que corresponde a 0/\infty (não indeterminada) — logo L’Hôpital não se aplica aqui; por isso usamos a argumentação direta (ou, se preferir, pode-se provar que e^{t}/t^{2}\to\infty aplicando L’Hôpital em e^{t}/t^{2} e então inverter). Conclusão: \lim_{x\to 0^{+}} x^{2}e^{-1/x} = 0.

Passo 4

Estudo do limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} x^{2}e^{-1/x}.
  • Novamente fazemos uma mudança de variável que torne o expoente positivo: para x<0 define-se s=-\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{-} temos s\to +\infty.
  • Reescrevendo: x^{2}e^{-1/x} = x^{2} e^{s} \quad\text{com } x=-\frac{1}{s},\\ \text{logo}\\ x^{2}=\frac{1}{s^{2}}.Assim x^{2}e^{-1/x} = \frac{1}{s^{2}} e^{s} = \frac{e^{s}}{s^{2}}.
  • Agora a expressão em s é \dfrac{e^{s}}{s^{2}}, que é da forma \infty/\infty quando s\to +\infty. Aqui L’Hôpital se aplica. Aplicamos a regra:
    • Derivando numerador e denominador uma vez: \frac{d}{ds}(e^{s})=e^{s},\qquad \frac{d}{ds}(s^{2})=2s.Logo a expressão passa a \frac{e^{s}}{2s},que ainda é da forma \infty/\infty quando s\to+\infty.
    • Aplicamos L’Hôpital novamente: \frac{d}{ds}(e^{s})=e^{s},\qquad \frac{d}{ds}(2s)=2,então a nova expressão é \frac{e^{s}}{2}.Quando s\to +\infty isso tende a +\infty.
  • Conclusão: \displaystyle\lim_{s\to +\infty}\frac{e^{s}}{s^{2}}=+\infty, portanto \lim_{x\to 0^{-}} x^{2}e^{-1/x} = +\infty.

Passo 5

Conclusão final e interpretação:
  • Os limites laterais são diferentes:
    • pela direita o limite vale 0;
    • pela esquerda o limite diverge para +\infty.
  • Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral \lim_{x\to 0} x^{2}e^{-1/x} não existe (no sentido de limite finito). Intuitivamente: para x>0 o fator e^{-1/x} é extremamente pequeno e vence o x^{2}; para x<0 o fator e^{-1/x}=e^{|1/x|} explode, vencendo o pequeno x^{2}.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}e^{-1/x}=0
\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} x^{2}e^{-1/x}=+\infty
\displaystyle\lim_{x\to 0} x^{2}e^{-1/x} não existe (os limites laterais são diferentes).

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