Calcule
em relação a
usando derivada implícita:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
em relação a
(ou seja,
) a partir da equação implicita
Informações dadas:
- A relação entre
e é . - Queremos \emph{derivar implicitamente} essa igualdade e obter
.
Passo 2
Regra que vamos usar: derivada da função composta e derivada de soma.
- A derivada de
em relação a é . - Pela regra da cadeia, se
depende de , então
- A derivada da soma
em relação a é a soma das derivadas: .
Aquisignifica .
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados da equação
em relação a
.
Usando a regra da cadeia com , obtemos
Usando a regra da cadeia com
Como o lado direito é constante
, sua derivada é
. Logo
Passo 4
Temos a equação
Normalmente, para isolar
dividiríamos por
, obtendo
e então
. Mas atenção: a própria condição inicial
implica que
e para esses valores
. Ou seja, sobre a curva dada pela equação inicial,
sempre se anula, e a igualdade do passo anterior vira
, que não nos permite dividir por
.
Para resolver isso de forma segura: da condição
sabemos explicitamente que
é constante igual a
. Logo podemos escrever
essa é a expressão explícita de
em função de
(uma família de retas). Derivando essa expressão em relação a
temos diretamente
Portanto, mesmo que a tentativa direta de dividir por
falhe (pois é zero nos pontos da curva), a forma explícita da relação mostra que a derivada é
.
Passo 5
Resumo e interpretação curta: a equação implica que
é constante, então
é a função linear
. A inclinação dessa reta é
, logo
. Força aí — já era! 😃