Calcule y^{\prime} em relação a x usando derivada implícita:
\operatorname{sen}(x+y)=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y em relação a x (ou seja, y') a partir da equação implicita
\operatorname{sen}(x+y)=1.
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é \operatorname{sen}(x+y)=1.
  • Queremos \emph{derivar implicitamente} essa igualdade e obter y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar: derivada da função composta e derivada de soma.
  • A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \cos(u).
  • Pela regra da cadeia, se u depende de x, então
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
  • A derivada da soma (x+y) em relação a x é a soma das derivadas: \dfrac{d}{dx}(x+y)=\dfrac{d}{dx}x+\dfrac{d}{dx}y=1+y'.
    Aqui y' significa \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados da equação \operatorname{sen}(x+y)=1 em relação a x.
Usando a regra da cadeia com u(x)=x+y(x), obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x+y)=\cos(x+y)\cdot\frac{d}{dx}(x+y).
Como o lado direito é constante 1, sua derivada é 0. Logo
\cos(x+y)\cdot(1+y')=0.

Passo 4

Temos a equação
\cos(x+y)\cdot(1+y')=0.
Normalmente, para isolar y' dividiríamos por \cos(x+y), obtendo 1+y'=0 e então y'=-1. Mas atenção: a própria condição inicial \operatorname{sen}(x+y)=1 implica que
x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{(com }k\in\mathbb{Z}\text{)},
e para esses valores \cos(x+y)=0. Ou seja, sobre a curva dada pela equação inicial, \cos(x+y)=0 sempre se anula, e a igualdade do passo anterior vira 0=0, que não nos permite dividir por \cos(x+y).
Para resolver isso de forma segura: da condição \operatorname{sen}(x+y)=1 sabemos explicitamente que x+y é constante igual a \dfrac{\pi}{2}+2k\pi. Logo podemos escrever
y=-x+\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),
essa é a expressão explícita de y em função de x (uma família de retas). Derivando essa expressão em relação a x temos diretamente
y'=-1.
Portanto, mesmo que a tentativa direta de dividir por \cos(x+y) falhe (pois é zero nos pontos da curva), a forma explícita da relação mostra que a derivada é -1.

Passo 5

Resumo e interpretação curta: a equação implica que x+y é constante, então y é a função linear y=-x+\text{constante}. A inclinação dessa reta é -1, logo y'=-1. Força aí — já era! 😃

Resposta

y'=-1

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