Calcule os limites usando L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / 6}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular o limite quando x \to \infty da função \left(e^{x}+x\right)^{1/6}.
  • A única informação numérica/fórmula dada é exatamente a expressão \left(e^{x}+x\right)^{1/6}.
  • Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Estratégia inicial — transformar para estudar o crescimento com calma.
  • É mais fácil analisar limites envolvendo potências exponenciais se tomarmos o logaritmo. Defino
y=\left(e^{x}+x\right)^{1/6}.
  • Tomando o logaritmo natural de ambos os lados obtenho, usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a,
\ln y=\frac{1}{6}\ln\!\left(e^{x}+x\right).
  • Se eu conseguir o limite de \ln y quando x\to\infty, então retorno ao y exponenciando: y=\exp(\ln y). Lembre-se: se \ln y \to +\infty então y\to +\infty; se \ln y tende a um número finito L, então y\to e^{L}.

Passo 3

Manipular \ln\!\left(e^{x}+x\right) para separar o termo dominante.
  • Factorizo e^{x} dentro do logaritmo:
\ln\!\left(e^{x}+x\right)=\ln\!\bigl(e^{x}\bigl(1+x e^{-x}\bigr)\bigr).
  • Usando \ln(ab)=\ln a+\ln b (com a>0,b>0) dá
\ln\!\left(e^{x}+x\right)=\ln\!(e^{x})+\ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr)=x+\ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr).
  • Portanto
\ln y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}\ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr).
Agora preciso estudar o comportamento do termo \ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr) quando x\to\infty. Para isso é suficiente analisar x e^{-x}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} x e^{-x} usando a regra de L’Hôpital (pedido do enunciado).
  • Reescrevo x e^{-x} como uma razão que dá forma indeterminada apropriada:
x e^{-x}=\frac{x}{e^{x}}.
  • Quando x\to\infty temos numerador \to\infty e denominador \to\infty, então a forma é \infty/\infty. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital: se \lim f=\lim g=\infty e as derivadas existem, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty).
  • Aqui f(x)=x e g(x)=e^{x}. Derivadas: f'(x)=1 e g'(x)=e^{x}.
  • Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}.
  • Agora \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}}=0 porque e^{x}\to\infty. Logo
\lim_{x\to\infty} x e^{-x}=0.

Passo 5

Concluir o comportamento do termo logarítmico pequeno.
  • Como x e^{-x}\to 0, então 1+x e^{-x}\to 1.
  • A função \ln é contínua em torno de 1, então
\lim_{x\to\infty}\ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr)=\ln(1)=0.
  • Portanto, do passo 3 temos
\lim_{x\to\infty}\ln y=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}\ln\!\bigl(1+x e^{-x}\bigr)\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}\cdot 0=+\infty.

Passo 6

Retornar para a variável original e concluir o limite.
  • Como \ln y \to +\infty, aplicando a função exponencial (que é crescente) obtemos y=\exp(\ln y)\to +\infty.
  • Lembrete intuitivo: o termo e^{x} domina x para x grande, então \left(e^{x}+x\right)^{1/6} cresce praticamente como e^{x/6}, que vai para +\infty. A demonstração acima fez isso de maneira rigorosa usando logaritmo e L’Hôpital onde necessário.

Resposta

\infty

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