Calcule os limites usando L’Hôspital:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular o limite quando
da função . - A única informação numérica/fórmula dada é exatamente a expressão
. - Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Estratégia inicial — transformar para estudar o crescimento com calma.
- É mais fácil analisar limites envolvendo potências exponenciais se tomarmos o logaritmo. Defino
- Tomando o logaritmo natural de ambos os lados obtenho, usando a propriedade
,
- Se eu conseguir o limite de
quando , então retorno ao exponenciando: . Lembre-se: se então ; se tende a um número finito , então .
Passo 3
Manipular
para separar o termo dominante.
- Factorizo
dentro do logaritmo:
- Usando
(com ) dá
- Portanto
Agora preciso estudar o comportamento do termo
quando
. Para isso é suficiente analisar
.
Passo 4
Calcular
usando a regra de L’Hôpital (pedido do enunciado).
- Reescrevo
como uma razão que dá forma indeterminada apropriada:
- Quando
temos numerador e denominador , então a forma é . Podemos aplicar a regra de L’Hôpital: se e as derivadas existem, então
quando o limite do lado direito existe (ou é
).
- Aqui
e . Derivadas: e . - Aplicando L’Hôpital:
- Agora
porque . Logo
Passo 5
Concluir o comportamento do termo logarítmico pequeno.
- Como
, então . - A função
é contínua em torno de , então
- Portanto, do passo 3 temos
Passo 6
Retornar para a variável original e concluir o limite.
- Como
, aplicando a função exponencial (que é crescente) obtemos . - Lembrete intuitivo: o termo
domina para grande, então cresce praticamente como , que vai para . A demonstração acima fez isso de maneira rigorosa usando logaritmo e L’Hôpital onde necessário.