Calcule os limites usando L’Hôspital:
lim _{x \rightarrow p} x-\ln x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to p}\bigl(x-\ln x\bigr).
Informações dadas (essenciais):
  • A expressão envolve \ln x, logo o ponto p deve estar no domínio do logaritmo natural, isto é, p>0.
  • Não há outras restrições no enunciado, portanto assume-se p>0.

Passo 2

Observação básica sobre continuidade (para usar direto a substituição):
  • A função identidade x\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}. Isto significa que \lim_{x\to p} x = p.
  • A função logaritmo x\mapsto \ln x é contínua em (0,\infty). Isto significa que, para p>0, \lim_{x\to p}\ln x = \ln p.
    Regra de limites para soma/diferença de funções contínuas: se f e g têm limite finito em p, então
\lim_{x\to p}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\lim_{x\to p}f(x)-\lim_{x\to p}g(x).
Aplicando aqui (já que ambas são contínuas em p>0):
\lim_{x\to p}\bigl(x-\ln x\bigr)=\lim_{x\to p}x-\lim_{x\to p}\ln x = p-\ln p.
Portanto o limite existe e vale p-\ln p. Isso já resolve o problema de forma direta.

Passo 3

Explicação didática sobre a regra de L’Hôpital e por que não é necessária aqui:
  • Teorema de L’Hôpital (versão para 0/0 ou \infty/\infty): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e se f e g são diferenciáveis em um intervalo salvo possivelmente em a e g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty).
  • Observação importante: L’Hôpital trata de limites de QUOCIENTES que apresentam formas indeterminadas 0/0 ou \infty/\infty. A expressão do enunciado é uma DIFERENÇA, não um quociente, e não apresenta forma indeterminada se p>0. Por isso L’Hôpital não se aplica diretamente aqui — e tampouco é necessário, porque a substituição direta (continuidade) já resolve.

Passo 4

Mostrar uma forma alternativa (sem usar L’Hôpital) que confirma o resultado, caso queira manipular a expressão:
  • Note que
x-\ln x = \ln\bigl(e^x\bigr)-\ln x = \ln\!\left(\frac{e^x}{x}\right).
Como o logaritmo é contínuo em (0,\infty), tem-se
\lim_{x\to p}\bigl(x-\ln x\bigr)=\lim_{x\to p}\ln\!\left(\frac{e^x}{x}\right)=\ln\!\left(\lim_{x\to p}\frac{e^x}{x}\right).
Mas \lim_{x\to p}\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^p}{p} por continuidade das funções exponencial e identidade (denominador não nulo porque p>0). Logo
\lim_{x\to p}\bigl(x-\ln x\bigr)=\ln\!\left(\frac{e^p}{p}\right)=p-\ln p,
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Resumo final e encorajamento:
  • Não é preciso L’Hôpital aqui: a diferença de funções contínuas permite substituir diretamente x por p e \ln x por \ln p.
  • Resultado simples e direto: \;p-\ln p.
  • Boa! Você já tem a ideia: sempre primeiro verifique continuidade e formas indeterminadas antes de sair aplicando L’Hôpital à força — isso evita perda de tempo na prova.

Resposta

p-\ln p

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