Calcule os limites usando L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas (essenciais):
- A expressão envolve
, logo o ponto deve estar no domínio do logaritmo natural, isto é, . - Não há outras restrições no enunciado, portanto assume-se
.
Passo 2
Observação básica sobre continuidade (para usar direto a substituição):
- A função identidade
é contínua em todo . Isto significa que . - A função logaritmo
é contínua em . Isto significa que, para , .
Regra de limites para soma/diferença de funções contínuas: see têm limite finito em , então
Aplicando aqui (já que ambas são contínuas em
):
Portanto o limite existe e vale
. Isso já resolve o problema de forma direta.
Passo 3
Explicação didática sobre a regra de L’Hôpital e por que não é necessária aqui:
- Teorema de L’Hôpital (versão para
ou ): se e (ou ambos ), e se e são diferenciáveis em um intervalo salvo possivelmente em e perto de , então
quando o limite do lado direito existe (ou é
).
- Observação importante: L’Hôpital trata de limites de QUOCIENTES que apresentam formas indeterminadas
ou . A expressão do enunciado é uma DIFERENÇA, não um quociente, e não apresenta forma indeterminada se . Por isso L’Hôpital não se aplica diretamente aqui — e tampouco é necessário, porque a substituição direta (continuidade) já resolve.
Passo 4
Mostrar uma forma alternativa (sem usar L’Hôpital) que confirma o resultado, caso queira manipular a expressão:
- Note que
Como o logaritmo é contínuo em
, tem-se
Mas
por continuidade das funções exponencial e identidade (denominador não nulo porque
). Logo
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Resumo final e encorajamento:
- Não é preciso L’Hôpital aqui: a diferença de funções contínuas permite substituir diretamente
por e por . - Resultado simples e direto:
. - Boa! Você já tem a ideia: sempre primeiro verifique continuidade e formas indeterminadas antes de sair aplicando L’Hôpital à força — isso evita perda de tempo na prova.