Calcule os limites usando L’Hôspital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto para o qual
tende é .
A tarefa é calcular esse limite — o enunciado pede para usar a regra de L’Hôspital.
Passo 2
Primeiro vamos tentar a substituição direta para ver se é um caso indeterminado. Calculando cada parte em
:
Como ao substituir obtemos a forma
, isso é uma indeterminação clássica. A regra de L’Hôspital é aplicável em casos de
(desde que as condições da regra se verifiquem), então podemos usá-la para transformar o limite em outro possivelmente mais simples.
Passo 3
Vou enunciar a regra de L’Hôspital de forma prática (apenas o que precisamos): se
e
são diferenciáveis num intervalo em torno de
(exceto possivelmente em
), e
e se existir (ou for
)
então
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Precisamos apenas verificar que
e
são diferenciáveis perto de
(são) e então calcular as derivadas.
Passo 4
Identificamos
Agora calculamos as derivadas (mostrando passo a passo):
- Derivada de
: a derivada de é . A derivada de é (porque , logo de vem ). Assim,
- Derivada de
: usar regras básicas de potência e soma. A derivada de é e a derivada de é . Logo
Passo 5
Aplicando L’Hôspital, o limite original é igual ao limite das derivadas (desde que o novo limite exista):
Agora fazemos substituição direta no novo quociente (não é mais uma indeterminação, pois o denominador em
vale
):
logo
Portanto o limite pedido é
.
Passo 6
(Verificação intuitiva extra — só para ganhar confiança, não é necessária na prova) Usando séries ou estimativas: perto de
vale
, e
. Assim a razão comporta-se como
, que tende a
quando
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôspital.