Calcule os limites usando L’Hôspital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é 1-\cos(x).
  • A função no denominador é x^{2}+x.
  • O ponto para o qual x tende é 0.
    A tarefa é calcular esse limite — o enunciado pede para usar a regra de L’Hôspital.

Passo 2

Primeiro vamos tentar a substituição direta para ver se é um caso indeterminado. Calculando cada parte em x=0:
1-\cos(0)=1-1=0
0^{2}+0=0.
Como ao substituir obtemos a forma 0/0, isso é uma indeterminação clássica. A regra de L’Hôspital é aplicável em casos de 0/0 (desde que as condições da regra se verifiquem), então podemos usá-la para transformar o limite em outro possivelmente mais simples.

Passo 3

Vou enunciar a regra de L’Hôspital de forma prática (apenas o que precisamos): se f e g são diferenciáveis num intervalo em torno de a (exceto possivelmente em a), e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e se existir (ou for \pm\infty)
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x) é o numerador e g(x) é o denominador. Precisamos apenas verificar que f e g são diferenciáveis perto de 0 (são) e então calcular as derivadas.

Passo 4

Identificamos
f(x)=1-\cos(x),\qquad g(x)=x^{2}+x.
Agora calculamos as derivadas (mostrando passo a passo):
  • Derivada de f: a derivada de 1 é 0. A derivada de -\cos(x) é +\sin(x) (porque \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), logo de -\cos(x) vem +\sin(x)). Assim,
f'(x)=\sin(x).
  • Derivada de g: usar regras básicas de potência e soma. A derivada de x^{2} é 2x e a derivada de x é 1. Logo
g'(x)=2x+1.

Passo 5

Aplicando L’Hôspital, o limite original é igual ao limite das derivadas (desde que o novo limite exista):
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}.
Agora fazemos substituição direta no novo quociente (não é mais uma indeterminação, pois o denominador em 0 vale 1):
\sin(0)=0,\qquad 2\cdot 0+1=1,
logo
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}=\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite pedido é 0.

Passo 6

(Verificação intuitiva extra — só para ganhar confiança, não é necessária na prova) Usando séries ou estimativas: perto de 0 vale 1-\cos(x)\approx \dfrac{x^{2}}{2}, e x^{2}+x=x(1+x)\approx x. Assim a razão comporta-se como \dfrac{x^{2}/2}{x}=\dfrac{x}{2}, que tende a 0 quando x\to 0. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôspital.

Resposta

0

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