Calcule os limites usando a regra de L’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}
usando a regra de L’Hôspital, que se aplica a limites na forma \infty/\infty ou 0/0.

Passo 2

Ao fazer x\to\infty temos \ln x\to\infty, logo o numerador (\ln x)^2\to\infty e o denominador x\to\infty. É uma indeterminação \infty/\infty, então aplicamos L’Hôspital:
Derivando numerador e denominador,
– numerador: \frac{d}{dx}(\ln x)^2 = 2\,\ln x\cdot\frac1x = \frac{2\ln x}{x},
– denominador: \frac{d}{dx}x = 1.
Portanto,
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x / x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}.

Passo 3

Ainda temos forma \infty/\infty, reaplicamos L’Hôspital:
– numerador: \frac{d}{dx}(2\ln x)=\frac{2}{x},
– denominador: \frac{d}{dx}x=1.
Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2/x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}.

Passo 4

Como \lim_{x\to\infty}2/x=0, concluímos que o limite original é 0.

Resposta

0

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