Calcule os limites usando a regra de L’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos x}.
Aqui temos um limite de quociente onde, ao substituir x=0, o numerador e o denominador vão a zero, ou seja, é uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
\frac{x^{2}}{1-\cos x}\bigg|_{x=0} = \frac{0}{0}.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1-\cos x} = \lim_{x\to0}\frac{(x^{2})'}{(1-\cos x)'} = \lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x}.

Passo 3

O quociente \tfrac{2x}{\sin x} ainda dá 0/0 em x=0, então aplicamos L’Hôpital de novo:
\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{(2x)'}{(\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{2}{\cos x}.

Passo 4

Agora basta substituir x=0 em \tfrac{2}{\cos x}:
\frac{2}{\cos0} = \frac{2}{1} = 2.

Resposta

2

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