Calcule os limites usando a regra de L’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{n} e^{-x}, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty} x^{n}e^{-x},\quad n\in\mathbb{N}.
O conteúdo aqui é o uso da regra de L’Hôpital em limites do tipo \infty/\infty. Para aplicá-la, vamos escrever x^n e^{-x} como uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limite.

Passo 2

Reescrevemos
x^{n}e^{-x} = \frac{x^n}{e^x}.
Quando x\to\infty, o numerador \,x^n\to\infty e o denominador \,e^x\to\infty. Portanto temos a forma indeterminada \infty/\infty e podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital uma vez, diferenciando numerador e denominador em relação a x:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{e^x}.

Passo 4

Repare que ainda temos a forma \infty/\infty. Aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
\lim_{x\to\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{n(n-1)\,x^{n-2}}{e^x}.
Cada aplicação diferencia x^k e mantém e^x inalterado.

Passo 5

Após aplicar L’Hôpital n vezes, o numerador vira a constante n! e o denominador segue e^x:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^x}.
Como e^x\to\infty, essa fração tende a zero.

Resposta

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