Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a diferença entre dois termos, ambos multiplicados por
(a função degrau unitário deslocada). - A transformada de Laplace a ser aplicada é a usual, definida pela integral de
a . - Precisamos simplificar a expressão antes de calcular a transformada, usando identidades trigonométricas e propriedades da transformada.
Passo 2
Observação sobre o fator
: para a transformada de Laplace usamos integração em
de
a
. Para todo
temos
, logo
Portanto, no intervalo de integração da transformada de Laplace, o degrau vale
e podemos removê-lo da expressão sem alterar a transformada. Assim vamos trabalhar com
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
Aplicando essa identidade na expressão do passo anterior obtemos
Passo 4
Pela linearidade da transformada de Laplace,
Então basta calcular
e
.
Passo 5
Fórmula conhecida e útil: para
real com
,
Aqui
, então
(Se quiser, essa fórmula vem da integral
, mas usaremos-a como padrão.)
Passo 6
Outra propriedade importante: se
, então
Derivação rápida da propriedade: derivando
em relação a
e trocando derivação e integração obtemos
, portanto a fórmula acima.
Passo 7
Aplicamos essa propriedade com
. Temos
. Logo
Passo 8
Calculamos a derivada passo a passo. Escrevemos
Derivando:
Simplificando:
Portanto
Passo 9
Agora juntamos as duas parcelas do passo 4:
Passo 10
Se quisermos, podemos colocar em denominador comum
: