Calcule:
L\left\{(t+\pi) \cos ^{2} t \cdot U(t+\pi)-(t+\pi) \sin ^{2} t \cdot U(t+\pi)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace da função
(t+\pi)\cos^{2}t\cdot U(t+\pi)-(t+\pi)\sin^{2}t\cdot U(t+\pi).
Informações relevantes dadas:
  • A função é a diferença entre dois termos, ambos multiplicados por U(t+\pi) (a função degrau unitário deslocada).
  • A transformada de Laplace a ser aplicada é a usual, definida pela integral de 0 a \infty.
  • Precisamos simplificar a expressão antes de calcular a transformada, usando identidades trigonométricas e propriedades da transformada.

Passo 2

Observação sobre o fator U(t+\pi): para a transformada de Laplace usamos integração em t de 0 a \infty. Para todo t\ge 0 temos t+\pi\ge \pi>0, logo
U(t+\pi)=1\quad\text{para todo }t\ge 0.
Portanto, no intervalo de integração da transformada de Laplace, o degrau vale 1 e podemos removê-lo da expressão sem alterar a transformada. Assim vamos trabalhar com
(t+\pi)\cos^{2}t-(t+\pi)\sin^{2}t.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\cos(2t)=\cos^{2}t-\sin^{2}t.
Aplicando essa identidade na expressão do passo anterior obtemos
(t+\pi)\bigl(\cos^{2}t-\sin^{2}t\bigr)=(t+\pi)\cos(2t).

Passo 4

Pela linearidade da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{(t+\pi)\cos(2t)\}=\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}+\pi\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}.
Então basta calcular \mathcal{L}\{t\cos(2t)\} e \mathcal{L}\{\cos(2t)\}.

Passo 5

Fórmula conhecida e útil: para a real com \operatorname{Re}(s)>0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a=2, então
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+4}.
(Se quiser, essa fórmula vem da integral \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt, mas usaremos-a como padrão.)

Passo 6

Outra propriedade importante: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s).
Derivação rápida da propriedade: derivando F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt em relação a s e trocando derivação e integração obtemos F'(s)=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}, portanto a fórmula acima.

Passo 7

Aplicamos essa propriedade com f(t)=\cos(2t). Temos F(s)=\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+4}. Logo
\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+4}\right).

Passo 8

Calculamos a derivada passo a passo. Escrevemos
\frac{s}{s^{2}+4}=s\,(s^{2}+4)^{-1}.
Derivando:
\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+4}\right)=(s^{2}+4)^{-1}+s\cdot(-1)(s^{2}+4)^{-2}\cdot 2s.
Simplificando:
\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+4}\right)=\frac{1}{s^{2}+4}-\frac{2s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{(s^{2}+4)-2s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\cos(2t)\}=-\frac{4-s^{2}}{(s^{2}+4)^{2} }=\frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}.

Passo 9

Agora juntamos as duas parcelas do passo 4:
\mathcal{L}\{(t+\pi)\cos(2t)\}=\frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}+\pi\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 10

Se quisermos, podemos colocar em denominador comum (s^{2}+4)^{2}:
\mathcal{L}\{(t+\pi)\cos(2t)\}=\frac{s^{2}-4+\pi s(s^{2}+4)}{(s^{2}+4)^{2}}=\frac{\pi s^{3}+s^{2}+4\pi s-4}{(s^{2}+4)^{2}}.

Resposta

\frac{s^{2}-4}{(s^{2}+4)^{2}}+\pi\frac{s}{s^{2}+4}

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