Calcule:
L^{-1}\left\{\frac{e^{-\pi / 2}}{s\left(s^{2}+4 s+13\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle L^{-1}\!\left\{\frac{e^{-\pi/2}}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}\right\}, isto é, encontrar a função do tempo f(t) cuja transformada de Laplace é \displaystyle \frac{e^{-\pi/2}}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}.
Informações relevantes dadas:
\text{temos um fator multiplicativo constante } e^{-\pi/2}\text{ (independente de \(s\))},
\text{o resto da fração é } \dfrac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}.çãé
Observação: como o fator e^{-\pi/2} não depende de s, ele simplesmente sai como constante no domínio do tempo — isto é, o resultado será e^{-\pi/2} multiplicando a antitransformada de \dfrac{1}{s(s^{2}+4s+13)}.

Passo 2

Extraio a constante fora da transformada inversa:
L^{-1}\!\left\{\frac{e^{-\pi/2}}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}\right\} = e^{-\pi/2}\;L^{-1}\!\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}\right\}.
Agora foco em \displaystyle L^{-1}\!\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}\right\}.

Passo 3

Faço decomposição em frações parciais
\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs+C}{s^{2}+4s+13}.
Multiplico por s(s^{2}+4s+13)\) para obter a identidade: \[1 = A\left(s^{2}+4s+13\right) + (Bs+C)s.
Agrupando coeficientes em potências de s:
1 = (A+B)s^{2} + (4A+C)s + 13A.
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (i.e. 0\cdot s^{2}+0\cdot s+1) obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 4A + C = 0,\\[4pt] 13A = 1. \end{cases}
Da última equação A=\dfrac{1}{13}\]. Então \[B = -A = -\dfrac{1}{13},\qquad C = -4A = -\dfrac{4}{13}.\] Substituindo de volta: \[\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)} = \frac{1}{13}\cdot\frac{1}{s} + \frac{-\tfrac{1}{13}s - \tfrac{4}{13}}{s^{2}+4s+13}.\] Factorizo \(1/13:
\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)} = \frac{1}{13}\left(\frac{1}{s} - \frac{s+4}{s^{2}+4s+13}\right).]

Passo 4

Completo o quadrado no denominador quadrático para identificar formas de transformadas conhecidas:
s^{2}+4s+13 = (s+2)^{2}+9 \qquad\text{(pois \((s+2)^{2}=s^{2}+4s+4\) e \(4+9=13\))}.
Escrevo o numerador -(s+4) em função de (s+2):
-(s+4) = -(s+2) - 2.
Assim
\frac{s+4}{s^{2}+4s+13} = \frac{(s+2)+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Portanto
-\frac{s+4}{s^{2}+4s+13} = -\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} - \frac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Voltando à decomposição com o fator 1/13:
\frac{1}{s\left(s^{2}+4s+13\right)} = \frac{1}{13}\left(\frac{1}{s} - \frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} - \frac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right).

Passo 5

Aplico transformadas inversas conhecidas. Recordando as fórmulas básicas (para t\ge 0):
L\{1\} = \frac{1}{s},
L\{e^{-at}\cos(bt)\} = \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}},
L\{e^{-at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Nessas fórmulas, a e b são constantes; o papel de a é um decaimento exponencial e^{-at} e b é a frequência do seno/cosseno.
Compare os termos:
  • \dfrac{1}{s} corresponde a 1 no tempo.
  • \dfrac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} corresponde a e^{-2t}\cos(3t).
  • \dfrac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}} corresponderia a e^{-2t}\sin(3t). Como temos \dfrac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}, o inverso será \dfrac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t).
Agora aplico L^{-1} termo a termo:
L^{-1}\!\left\{\frac{1}{13}\left(\frac{1}{s}\right)\right\} = \frac{1}{13},
L^{-1}\!\left\{\frac{1}{13}\left(-\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right)\right\} = -\frac{1}{13}\,e^{-2t}\cos(3t),
L^{-1}\!\left\{\frac{1}{13}\left(-\frac{2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right)\right\} = -\frac{1}{13}\cdot\frac{2}{3}\,e^{-2t}\sin(3t) = -\frac{2}{39}\,e^{-2t}\sin(3t).

Passo 6

Junto tudo e multiplico pela constante externa e^{-\pi/2} que tínhamos guardado:
L^{-1}\!\left\{\frac{e^{-\pi/2}}{s\left(s^{2}+4s+13\right)}\right\} = e^{-\pi/2}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{13}e^{-2t}\cos(3t) - \frac{2}{39}e^{-2t}\sin(3t)\right).
Posso também escrever de forma factorada:
f(t)=\frac{e^{-\pi/2}}{13}\left(1 - e^{-2t}\cos(3t) - \frac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t)\right),\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-\pi/2}}{13}\Bigl(1 - e^{-2t}\cos(3t) - \tfrac{2}{3}e^{-2t}\sin(3t)\Bigr)

Exercícios relacionados