Calcule:
8^{\log _{4}(5)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de 8^{\log_{4}(5)}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é 8^{\log_{4}(5)}.
  • Não há outros dados numéricos além desse logaritmo.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para organizar: seja x=\log_{4}(5). Isso significa que x é o expoente ao qual devemos elevar 4 para obter 5. Em palavras: 4^{x}=5. Não vamos resolver x numericamente agora, apenas usar essa relação.

Passo 3

Reescrevemos a base 8 como potência de 2, porque 8 e 4 são potências de 2. Escrevemos:
8=2^{3},\qquad 4=2^{2}.
Essa mudança facilita usar propriedades de potência e logaritmo.

Passo 4

Substituindo 8=2^{3} na expressão inicial, obtemos
8^{\log_{4}(5)}=(2^{3})^{\log_{4}(5)}.
Usamos agora a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{m n} para juntar expoentes:
(2^{3})^{\log_{4}(5)}=2^{3\log_{4}(5)}.

Passo 5

Queremos escrever \log_{4}(5) em termos de logaritmo de base 2. Aplicando a fórmula de mudança de base
\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a},
com a=4, b=5 e c=2, obtemos
\log_{4}(5)=\frac{\log_{2}(5)}{\log_{2}(4)}.
Como \log_{2}(4)=2 (porque 2^{2}=4), fica
\log_{4}(5)=\frac{\log_{2}(5)}{2}.

Passo 6

Substituindo esse valor em 2^{3\log_{4}(5)}:
2^{3\log_{4}(5)}=2^{3\cdot\frac{\log_{2}(5)}{2}}=2^{\frac{3}{2}\log_{2}(5)}.
Agora usamos a propriedade a^{\log_{a}b}=b. Mais geralmente, para qualquer constante k,
a^{k\log_{a}b}=(a^{\log_{a}b})^{k}=b^{k}.
Aplicando com a=2, b=5 e k=\tfrac{3}{2}, obtemos
2^{\frac{3}{2}\log_{2}(5)}=5^{\frac{3}{2}}.

Passo 7

Expressamos 5^{\frac{3}{2}} numa forma mais familiar de radical:
5^{\frac{3}{2}}=(5^{1/2})^{3}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}.
Também poderia ser escrito como \sqrt{125}, que é a mesma coisa.

Resposta

5^{3/2}=5\sqrt{5}

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