Calcule:
5^{\log _{25}(2)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular 5^{\log_{25}(2)}. As informações que temos diretamente do enunciado são:
  • A expressão a ser avaliada é 5^{\log_{25}(2)}.
  • Note que 25 é uma potência de 5: 25=5^{2}.

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia importante sobre logaritmos que vamos usar: se x=\log_{a}(b) então isso significa que a^{x}=b. Em palavras: o logaritmo \log_{a}(b) é o expoente que coloca a base a para obter b.
Agora derive uma fórmula útil: se a base do logaritmo é uma potência, isto é, se temos \log_{a^{k}}(b), então
\log_{a^{k}}(b)=\frac{1}{k}\log_{a}(b).
Prova curta: suponha x=\log_{a^{k}}(b). Então (a^{k})^{x}=b, isto é a^{kx}=b. Aplicando \log_{a} nos dois lados obtemos kx=\log_{a}(b), logo x=\dfrac{1}{k}\log_{a}(b).

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, com a=5 e k=2, obtemos
\log_{25}(2)=\log_{5^{2}}(2)=\frac{1}{2}\log_{5}(2).
Portanto podemos reescrever a expressão original como
5^{\log_{25}(2)}=5^{\tfrac{1}{2}\log_{5}(2)}.

Passo 4

Agora use outra propriedade muito prática dos logaritmos e potências: para qualquer base a>0 e qualquer c,
a^{c\log_{a}(b)}=\big(a^{\log_{a}(b)}\big)^{c}=b^{c}.
Aplicando essa propriedade à expressão do passo anterior com a=5, b=2 e c=\tfrac{1}{2}, temos
5^{\tfrac{1}{2}\log_{5}(2)=}\big(5^{\log_{5}(2)}\big)^{\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Interpretação final do resultado: 2^{\tfrac{1}{2}} é simplesmente a raiz quadrada de 2. (Se quiser outro caminho, poderia também colocar x=\log_{25}2, escrever 25^{x}=2\Rightarrow(5^{2})^{x}=2\Rightarrow5^{2x}=2. Então (5^{x})^{2}=2 e, como 5^{x}>0, 5^{x}=\sqrt{2}.)

Resposta

\sqrt{2}

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