Calcule:
8^{1+\log _{2}(3)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de 8^{1+\log_{2}(3)}.
Informações dadas: a expressão tem base 8 e expoente 1+\log_{2}(3). Não há outras condições.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica de potências: para quaisquer números positivos a e quaisquer expoentes x,y,
a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}.
Aplicando essa identidade à expressão, temos
8^{1+\log_{2}(3)}=8^{1}\cdot 8^{\log_{2}(3)}.

Passo 3

Calcular 8^{1} é imediato:
8^{1}=8.
Portanto a expressão ficou 8\cdot 8^{\log_{2}(3)}.

Passo 4

Para avaliar 8^{\log_{2}(3)} é útil escrever 8 como potência de 2, porque o logaritmo é na base 2. Observação simples:
8=2^{3}.
Substituindo,
8^{\log_{2}(3)}=(2^{3})^{\log_{2}(3)}.

Passo 5

Usamos agora a regra de potenciação de potência e a definição de logaritmo. A regra é (a^{b})^{c}=a^{bc}, logo
(2^{3})^{\log_{2}(3)}=2^{3\log_{2}(3)}.
Também lembramos da identidade fundamental entre exponencial e logaritmo: para a>0 e x>0,
a^{\log_{a}(x)}=x,
porque \log_{a}(x) é o expoente que transforma a em x. Aplicando isso com a=2 e elevando ao cubo, canonicamente:
2^{3\log_{2}(3)}=\bigl(2^{\log_{2}(3)}\bigr)^{3}=3^{3}.

Passo 6

Calculamos 3^{3} e multiplicamos pelo fator 8 que já tínhamos:
3^{3}=27,
então
8^{1+\log_{2}(3)}=8\cdot 27.

Passo 7

Multiplicando:
8\cdot 27=216.

Resposta

216

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