Calcule \log _{8} 16+\log _{5} 1-\log 10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\log_{8}16 + \log_{5}1 - \log 10.
Informações dadas no enunciado:
\log_{8}16,\quad \log_{5}1,\quad \log 10
Não há outras informações explícitas. Vou calcular cada termo e depois somar/subtrair.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas de logaritmos que vamos usar (explicadas de forma bem simples):
  • Por definição, y=\log_b x significa que b^{y}=x. Ou seja, o log é o expoente que transforma a base b em x.
  • Consequências imediatas:
    • \log_b 1 = 0 porque b^{0}=1.
    • \log_b b = 1 porque b^{1}=b.
  • Também útil: se b=a^{m} e x=a^{n} com mesma base a, então \log_{a^{m}} a^{n} = \frac{n}{m}.Isso vem direto de resolver (a^{m})^{y}=a^{n} levando a m y = n e y=n/m.

Passo 3

Calcular \log_{8}16.
Escrevo 8 e 16 como potências de 2:
8=2^{3},\qquad 16=2^{4}.
Use a propriedade do passo anterior:
\log_{8}16=\log_{2^{3}}2^{4}=\frac{4}{3}.
Se preferir ver direto: seja x=\log_{8}16. Então 8^{x}=16 implica (2^{3})^{x}=2^{4}, logo 2^{3x}=2^{4} e 3x=4, assim x=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Calcular \log_{5}1.
Pela propriedade básica:
\log_{5}1=0,
pois 5^{0}=1. (Aqui não há mistério: o log de 1 em qualquer base positiva diferente de 1 é zero.)

Passo 5

Calcular \log 10.
Quando o enunciado escreve \log 10 sem base, em problemas escolares usualmente entende-se o logaritmo na base 10 (logaritmo decimal). Então
\log 10=\log_{10}10=1,
porque 10^{1}=10.

Passo 6

Somar e subtrair os resultados encontrados:
\log_{8}16 + \log_{5}1 - \log 10 = \frac{4}{3} + 0 - 1.
Calculo \frac{4}{3}-1:
\frac{4}{3}-1=\frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\frac{1}{3}.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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