Express
in the form of a power series
by solving
in two ways. (Hint: Remember the binomial series.) Use this result to obtain the formula
Passo 1
O problema pede duas coisas: (1) expressar
como uma série de potências
resolvendo a equação diferencial
de duas maneiras; (2) usar esse resultado para obter a fórmula numérica
Informações dadas e observações úteis:
- A equação diferencial é
. - Sabemos (ou devemos usar) a série binomial generalizada para expoentes fracionários.
- A função buscada é
, pois e .
A resolução começa agora.
Passo 2
(Lembrete-prático sobre a série binomial) A série binomial generalizada diz que, para
e qualquer
,
onde
Aplicamos isso com
e
. Assim
Agora simplificamos os coeficientes: primeiro note que
Multiplicando por
vindo de
cancela o sinal, dando
Agora usamos a identidade
da qual segue
Substituindo nessa última expressão obtemos
Portanto, para
,
Passo 3
(Primeira maneira — integrar a série) Como
, integramos termo a termo (válido para
) a série obtida:
Usamos a condição natural da primitiva conhecida:
, logo
implica
. Assim obtemos a série de potências para
:
Passo 4
(Segunda maneira — supondo uma série para
e igualando coeficientes) Suponha
Então
Mas sabemos que
. Igualando coeficientes da potência
obtemos:
- Para
ímpar (isto é, ) o coeficiente do lado direito é zero, logo e então . Logo todos os coeficientes de potências pares de (exceto possivelmente ) são zero. - Para
(par), igualamos , daí
Com
obtemos exatamente a mesma série
Isso confirma por um método “coeficiente a coeficiente” o resultado da integração.
Passo 5
(Aplicação para
) Agora usamos que
. Substituindo
na série,
Simplificamos os fatores de potências de 2:
e
. Então cada termo é
Para obter a forma dada no enunciado, escrevemos
como produto de frações pares/ímpares. Usando a identidade já vista,
Logo
Agora escrevemos os primeiros termos para ver a coincidência com a fórmula do enunciado:
-
: produto vazio , termo -
: produto , termo -
: produto , termo -
: produto , termo
Portanto reescrevendo a soma obtemos exatamente