Calcule a integral:
\int \frac{x{4}+1}{x{5}+2 x^{3}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{4}+1}{x^{5}+2x^{3}+x}\,dx.
Informações relevantes que temos: o integrando é uma função racional (fração de polinômios). Observando o denominador, ele pode ser escrito como
x^{5}+2x^{3}+x = x\bigl(x^{4}+2x^{2}+1\bigr).
Note que x^{4}+2x^{2}+1 é um quadrado perfeito, então o denominador factoriza como
x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}.
A integral, portanto, é
\int \frac{x^{4}+1}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Escolhemos o método de frações parciais porque estamos diante de uma função racional cujo denominador fatorou em um fator linear x e um fator quadrático irreducível \bigl(x^{2}+1\bigr) com multiplicidade 2. Para decompor uma fração com esses fatores, usamos a forma geral:
\frac{x^{4}+1}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1} + \frac{Dx+E}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Vou explicar o porquê dessa forma: para um fator linear simples x usamos \dfrac{A}{x}; para o fator quadrático irreduzível simples (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C; e como a potência do fator quadrático é 2, precisamos também do termo \dfrac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2} para obter uma identidade polinomial:
x^{4}+1 = A\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2} + (Bx+C)\,x\bigl(x^{2}+1\bigr) + (Dx+E)\,x.
Agora vamos expandir os termos do lado direito cuidadosamente.

Passo 4

Expandindo cada parcela:
  1. [;A\bigl(x{2}+1\bigr){2} = A\bigl(x{4}+2x{2}+1\bigr) = A x^{4} + 2A x^{2} + A.)
  2. \;(Bx+C)\,x\bigl(x^{2}+1\bigr) = (Bx+C)\bigl(x^{3}+x\bigr).
    Expandindo:
(Bx+C)(x^{3}+x) = Bx\cdot x^{3} + Bx\cdot x + C\cdot x^{3} + C\cdot x = B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x.
  1. \;(Dx+E)\,x = D x^{2} + E x.
Somando tudo temos:
x^{4}+1 = (A+B)\,x^{4} + C\,x^{3} + (2A + B + D)\,x^{2} + (C+E)\,x + A.
Igualando coeficientes com o polinômio à esquerda x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 2A + B + D = 0,\\[4pt] C + E = 0,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Da última equação vem A=1\]. Com \(A=1 e A+B=1 temos B=0. Como C=0 pela segunda equação, a quarta dá E=0. Finalmente, da terceira 2A + B + D = 0 temos 2\cdot1 + 0 + D = 0, logo D=-2.
Assim os coeficientes são
A=1,\quad B=0,\quad C=0,\quad D=-2,\quad E=0.]

Passo 5

Substituindo na decomposição obtemos
\frac{x^{4}+1}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{0\cdot x + 0}{x^{2}+1} + \frac{-2x + 0}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Isto simplifica para
\frac{x^{4}+1}{x^{5}+2x^{3}+x} = \frac{1}{x} - \frac{2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Portanto a integral se separa em duas:
\int \frac{x^{4}+1}{x^{5}+2x^{3}+x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - 2\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 6

Calculamos cada integral:
  1. A integral de \dfrac{1}{x} é a clássica:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_{1}.
Uso o valor absoluto porque \ln exige argumento positivo.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx fazemos a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{du}{2}. Substituindo:
\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Integrando u^{-2} obtemos -u^{-1}, então
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr) + C_{2} = -\frac{1}{2u} + C_{2} = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} + C_{2}.
Voltando à integral original, lembrando do fator -2:
-2\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx = -2\left(-\frac{1}{2(x^{2}+1)}\right) = \frac{1}{x^{2}+1}.
Somando as duas partes e absorvendo constantes em uma só constante C, obtemos a primitiva:
\ln|x| + \frac{1}{x^{2}+1} + C.

Resposta

\ln|x|+\dfrac{1}{x^{2}+1}+C

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