Escolhemos o método de frações parciais porque estamos diante de uma função racional cujo denominador fatorou em um fator linear x e um fator quadrático irreducível \bigl(x^{2}+1\bigr) com multiplicidade 2. Para decompor uma fração com esses fatores, usamos a forma geral:
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Vou explicar o porquê dessa forma: para um fator linear simples x usamos \dfrac{A}{x}; para o fator quadrático irreduzível simples (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C; e como a potência do fator quadrático é 2, precisamos também do termo \dfrac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2} para obter uma identidade polinomial:
(Bx+C)(x^{3}+x) = Bx\cdot x^{3} + Bx\cdot x + C\cdot x^{3} + C\cdot x = B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x.
\;(Dx+E)\,x = D x^{2} + E x.
Somando tudo temos:
x^{4}+1 = (A+B)\,x^{4} + C\,x^{3} + (2A + B + D)\,x^{2} + (C+E)\,x + A.
Igualando coeficientes com o polinômio à esquerda x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 2A + B + D = 0,\\[4pt] C + E = 0,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Da última equação vem A=1\]. Com \(A=1 e A+B=1 temos B=0. Como C=0 pela segunda equação, a quarta dá E=0. Finalmente, da terceira 2A + B + D = 0 temos 2\cdot1 + 0 + D = 0, logo D=-2.
Uso o valor absoluto porque \ln exige argumento positivo.
Para \displaystyle \int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\,dx fazemos a substituição u = x^{2}+1. Então du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{du}{2}. Substituindo: