Calcule.
\log _{\frac{1}{2}} 16

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{\frac{1}{2}} 16. Informações dadas:
  • A base do logaritmo é \frac{1}{2}.
  • O argumento do logaritmo é 16.
    A pergunta é: qual número x satisfaz \log_{\frac{1}{2}}16 = x?

Passo 2

Lembrete fundamental sobre logaritmo (fórmula e significado):
\log_a b = x \iff a^{x}=b,
onde a>0, a\neq1 e b>0.
Isto significa que o logaritmo é a operação inversa da exponenciação: \log_a b é o expoente que transforma a em b.

Passo 3

Use a definição para transformar o problema em uma equação exponencial. Seja
x=\log_{\frac{1}{2}}16.
Pela definição,
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=16.

Passo 4

Reescreva ambos os lados como potências de 2 (isso facilita muito sem usar calculadora):
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x} = \left(2^{-1}\right)^{x} = 2^{-x},
e
16 = 2^{4}.
Então a equação vira
2^{-x}=2^{4}.
Como as potências de 2 são iguais, os expoentes têm que ser iguais:
- x = 4.
Logo
x = -4.

Passo 5

Verificação com mudança de base (método alternativo): usar \ln
\log_{\frac{1}{2}}16=\frac{\ln 16}{\ln\left(\tfrac{1}{2}\right)}=\frac{4\ln 2}{-\ln 2}=-4,
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: o resultado é negativo porque a base \tfrac{1}{2} está entre 0 e 1; quando a base está nessa faixa, o logaritmo de um número maior que 1 é negativo. Dica prática: sempre que possível escreva números como potências de uma mesma base (aqui base 2) — isso quase sempre resolve rápido sem calculadora.

Resposta

-4

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