O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
definida implicitamente pela equação
no ponto
é:
a) -2
c) 2
e) Nenhuma das demais opções.
b) -1
d) 0
a) -2
c) 2
e) Nenhuma das demais opções.
b) -1
d) 0
Passo 1
O enunciado dá a função
definida implicitamente pela equação
e pede o coeficiente angular (ou seja, a inclinação/slope) da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
.
As opções fornecidas são:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das demais opções.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das demais opções.
Passo 2
O que queremos calcular é a derivada
(também escrita
) avaliada no ponto
. A derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
para cada
. Como a função é dada de forma implícita (a relação envolve
e
misturados), usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja, ao derivar termos com
aparece um fator
).
Passo 3
Vamos derivar a equação
em relação a
.
Primeiro, derive o termo
. É produto de
por
, então usamos a regra do produto:
. Multiplicando por
,
Agora derive o termo
. Pelo uso da regra da cadeia,
.
A derivada do lado direito
(constante) é
.
Portanto, diferenciando ambos os lados obtemos:
Passo 4
Agora isolamos
. Primeiro expandimos o termo:
Colocamos os termos com
juntos:
Passamos
para o outro lado:
Finalmente, isolamos
:
Aqui
e
são as coordenadas de um ponto genérico; para achar a inclinação no ponto dado, basta substituir
e
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula de
:
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
Portanto
Como fração, a inclinação é
(aproximadamente
).
Passo 6
Comparando com as opções dadas:
não é igual a
, nem a
, nem a
, nem a
. Logo a opção correta é a alternativa que diz que nenhuma das demais opções está correta.
Resposta
e) Nenhuma das demais opções.