O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y=f(x) definida implicitamente pela equação
4 x y-y^{3}=7
no ponto (2,1) é:
a) -2
c) 2
e) Nenhuma das demais opções.
b) -1
d) 0

Passo 1

O enunciado dá a função y=f(x) definida implicitamente pela equação
4 x y - y^{3} = 7
e pede o coeficiente angular (ou seja, a inclinação/slope) da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (2,1).
As opções fornecidas são:
a) -2
b) -1
c) 2
d) 0
e) Nenhuma das demais opções.

Passo 2

O que queremos calcular é a derivada \dfrac{dy}{dx} (também escrita y') avaliada no ponto (2,1). A derivada \dfrac{dy}{dx} representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) para cada x. Como a função é dada de forma implícita (a relação envolve x e y misturados), usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é função de x (ou seja, ao derivar termos com y aparece um fator y'=\dfrac{dy}{dx}).

Passo 3

Vamos derivar a equação \;4 x y - y^{3} = 7\; em relação a x.
Primeiro, derive o termo 4 x y. É produto de x por y(x), então usamos a regra do produto: (x y)' = y + x y'. Multiplicando por 4,
\bigl(4 x y\bigr)' = 4\bigl(y + x y'\bigr).
Agora derive o termo y^{3}. Pelo uso da regra da cadeia, (y^{3})' = 3 y^{2} y'.
A derivada do lado direito 7 (constante) é 0.
Portanto, diferenciando ambos os lados obtemos:
4\bigl(y + x y'\bigr) - 3 y^{2} y' = 0.

Passo 4

Agora isolamos y'. Primeiro expandimos o termo:
4y + 4x y' - 3 y^{2} y' = 0.
Colocamos os termos com y' juntos:
4y + \bigl(4x - 3 y^{2}\bigr) y' = 0.
Passamos 4y para o outro lado:
\bigl(4x - 3 y^{2}\bigr) y' = -4y.
Finalmente, isolamos y':
y' = \dfrac{-4y}{4x - 3 y^{2}}.
Aqui x e y são as coordenadas de um ponto genérico; para achar a inclinação no ponto dado, basta substituir x=2 e y=1.

Passo 5

Substituindo (x,y)=(2,1) na fórmula de y':
y'(2,1) = \dfrac{-4\cdot 1}{4\cdot 2 - 3\cdot 1^{2}}.
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador} = -4\cdot 1 = -4, \qquad \text{denominador} = 4\cdot 2 - 3\cdot 1 = 8 - 3 = 5.
Portanto
y'(2,1) = -\dfrac{4}{5}.
Como fração, a inclinação é -\dfrac{4}{5} (aproximadamente -0,8).

Passo 6

Comparando com as opções dadas: -\dfrac{4}{5} não é igual a -2, nem a -1, nem a 2, nem a 0. Logo a opção correta é a alternativa que diz que nenhuma das demais opções está correta.

Resposta

e) Nenhuma das demais opções.

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