Obtenha o seguinte limite:
(a) 0
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da função
As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
O que é pedido: determinar o valor numérico do limite e escolher a alternativa correta.
Informações dadas: a expressão explícita do numerador
e do denominador
, e o ponto de interesse
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar expansões de Taylor (Maclaurin) das funções
e
em torno de
. Motivo: perto de
essas funções admitem séries em potências de
e isso permite identificar os termos dominantes do numerador e do denominador sem precisar aplicar derivadas repetidas (L’Hôpital) várias vezes. As séries de Maclaurin são fórmulas que escrevem uma função suave como soma de potências de
; por exemplo, truncando após alguns termos obtemos uma boa aproximação quando
é pequeno. Vou manter termos até a ordem necessária para determinar o limite.
Recordando as séries (os
indicam termos de ordem superior que se tornam desprezíveis ao dividir por potências menores quando
):
Aqui cada coeficiente vem das derivadas da função avaliadas em
divididas por
. Por exemplo, o termo
em
vem de
.
Passo 3
Agora substituo essas expansões no numerador
.
Primeiro calcule
:
Em seguida calcule
:
Agora some
e
:
Simplificando os termos:
Agora acrescento o termo
do numerador original:
Portanto
Passo 4
Expansão do denominador
é direta:
É útil fatorar um
comum em numerador e denominador, já que ambos têm termo de ordem
:
Passo 5
Agora calculo o limite dividindo as factorações:
Cortando o fator comum
(válido para
) obtemos
Ao fazer
, os termos que têm
,
,
e
vão para
, ficando apenas os termos constantes:
Passo 6
Interpretação final: o limite existe e é finito, igual a
. Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)