Obtenha o seguinte limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 e^{x}-3 \cos x+2 x}{x^{4}+3 x}
(a) 0
(b) 1 / 4
(c) 1 / 2
(d) 5 / 3
(e) +\infty

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 da função
\frac{3 e^{x}-3 \cos x+2 x}{x^{4}+3 x}.
As alternativas fornecidas são:
(a) 0
(b) 1/4
(c) 1/2
(d) 5/3
(e) +\infty.
O que é pedido: determinar o valor numérico do limite e escolher a alternativa correta.
Informações dadas: a expressão explícita do numerador 3 e^{x}-3 \cos x+2 x e do denominador x^{4}+3 x, e o ponto de interesse x\to0.

Passo 2

Escolha do método: vou usar expansões de Taylor (Maclaurin) das funções \mathrm{e}^{x} e \cos x em torno de 0. Motivo: perto de 0 essas funções admitem séries em potências de x e isso permite identificar os termos dominantes do numerador e do denominador sem precisar aplicar derivadas repetidas (L’Hôpital) várias vezes. As séries de Maclaurin são fórmulas que escrevem uma função suave como soma de potências de x; por exemplo, truncando após alguns termos obtemos uma boa aproximação quando x é pequeno. Vou manter termos até a ordem necessária para determinar o limite.
Recordando as séries (os o(\cdot) indicam termos de ordem superior que se tornam desprezíveis ao dividir por potências menores quando x\to0):
\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o\!\left(x^{4}\right),
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\!\left(x^{4}\right).
Aqui cada coeficiente vem das derivadas da função avaliadas em 0 divididas por n!. Por exemplo, o termo \dfrac{x^{3}}{6} em \mathrm{e}^{x} vem de \mathrm{e}^{0}/3!.

Passo 3

Agora substituo essas expansões no numerador 3\mathrm{e}^{x}-3\cos x+2x.
Primeiro calcule 3\mathrm{e}^{x}:
3\mathrm{e}^{x}=3\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o\!\left(x^{4}\right)\right) =3+3x+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{8}x^{4}+o\!\left(x^{4}\right).
Em seguida calcule -3\cos x:
-3\cos x=-3\left(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o\!\left(x^{4}\right)\right) =-3+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}+o\!\left(x^{4}\right).
Agora some 3\mathrm{e}^{x} e -3\cos x:
3\mathrm{e}^{x}-3\cos x =(3-3)+(3x)+\left(\frac{3}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x^{2}\right)+\frac{1}{2}x^{3}+\left(\frac{1}{8}x^{4}-\frac{1}{8}x^{4}\right)+o\!\left(x^{4}\right).
Simplificando os termos:
3\mathrm{e}^{x}-3\cos x =3x+3x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+0\cdot x^{4}+o\!\left(x^{4}\right).
Agora acrescento o termo +2x do numerador original:
3\mathrm{e}^{x}-3\cos x+2x=(3x+2x)+3x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+o\!\left(x^{4}\right).
Portanto
3\mathrm{e}^{x}-3\cos x+2x=5x+3x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+o\!\left(x^{4}\right).

Passo 4

Expansão do denominador x^{4}+3x é direta:
x^{4}+3x=3x+x^{4}.
É útil fatorar um x comum em numerador e denominador, já que ambos têm termo de ordem x:
\text{numerador}=x\!\left(5+3x+\frac{1}{2}x^{2}+o\!\left(x^{3}\right)\right),
\text{denominador}=x\!\left(3+x^{3}\right).

Passo 5

Agora calculo o limite dividindo as factorações:
\lim_{x\to0}\frac{3\mathrm{e}^{x}-3\cos x+2x}{x^{4}+3x} =\lim_{x\to0}\frac{x\!\left(5+3x+\frac{1}{2}x^{2}+o\!\left(x^{3}\right)\right)}{x\!\left(3+x^{3}\right)}.
Cortando o fator comum x (válido para x\neq0) obtemos
\lim_{x\to0}\frac{5+3x+\frac{1}{2}x^{2}+o\!\left(x^{3}\right)}{3+x^{3}}.
Ao fazer x\to0, os termos que têm x, x^{2}, x^{3} e o(x^{3}) vão para 0, ficando apenas os termos constantes:
\lim_{x\to0}\frac{5+0}{3+0}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Interpretação final: o limite existe e é finito, igual a \dfrac{5}{3}. Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 5/3

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