Calcule os logaritmos:
\log _{\frac{1}{9}} 27

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{1/9}27. Aqui vamos usar a definição de logaritmo – se \log_{a}b=x, então a^x=b – e as propriedades de potências para reescrever base e argumento.

Passo 2

Vamos expressar a base \tfrac{1}{9} e o número 27 como potências de 3:
\tfrac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2},
27 = 3^3.

Passo 3

Pela definição de logaritmo, se \log_{1/9}27 = x, então
\bigl(3^{-2}\bigr)^{x} \;=\; 3^3.
Pelo fato de (3^{-2})^x = 3^{-2x}, temos
3^{-2x} = 3^3.

Passo 4

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:
-2x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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