Calcule os logaritmos:
\log _{16} \frac{1}{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{16}\frac{1}{8}. Vamos usar a definição de logaritmo,
\log_{b}a = x \iff b^{x} = a,
e propriedades de potências para simplificar.

Passo 2

Reescrevemos a base e o argumento em potências de 2:
16 = 2^{4}, \qquad \frac{1}{8} = 2^{-3}.

Passo 3

Definimos x = \log_{16}\frac{1}{8}. Pela definição de logaritmo,
16^{x} = \frac{1}{8}.
Substituindo as potências de 2:
(2^{4})^{x} = 2^{-3}.
Como (2^{4})^{x} = 2^{4x}, igualamos expoentes:
2^{4x} = 2^{-3} \quad\Longrightarrow\quad 4x = -3 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{3}{4}.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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