Calcule.
Lt y^prime prime(t)

Passo 1

A questão pede para calcular Lt,y''(t). O conteúdo envolve transformada de Laplace de derivadas e a propriedade de multiplicação por t.

Passo 2

Lembramos primeiro da transformada de Laplace da segunda derivada:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s,y(0) - y'(0)
onde Y(s)=Ly(t).

Passo 3

Em seguida, usamos a propriedade que diz que multiplicar por t no tempo equivale a derivar no domínio s com sinal trocado:
Lt,f(t) = -ddsl(Lf(t)r)

Passo 4

Aplicando essa propriedade a f(t)=y''(t), obtemos
Lt,y''(t) = -ddsl(s^2 Y(s) - s,y(0) - y'(0)r)

Passo 5

Agora calculamos a derivada em relação a s:
  • dds[s^2 Y(s)] = 2s,Y(s) + s^2 dYds(s) (regra do produto),
  • dds[-s,y(0)] = -y(0),
  • dds[-y'(0)] = 0.
    Portanto,
-dds(cdots) = -l(2s,Y(s) + s^2 Y'(s) - y(0)r)

Resposta

-2s,Y(s) - s^{2}Y’(s) + y(0)

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