Prove que R, onde a é um quarto do circulo de raio x y localizada no primeiro quadrante do plano- .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^-(x^2+y^2),dA, onde R é o quarto de círculo de raio a no primeiro quadrante. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, pois a simetria circular torna o cálculo muito mais simples.

Passo 2

Para aplicar coordenadas polares, fazemos x = rcostheta, y = rsintheta e sabemos que dA = r,dr,dtheta. No primeiro quadrante e dentro do círculo de raio a, os limites são
0 <= r <= a, 0 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
$$
\iint_{R} e{-(x{2}+y^{2})},dA

\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{r=0}{a} e{-r{2}},r,dr,d\theta.
$$

Passo 4

Vamos separar a integral em parte radial e parte angular. Primeiro a parte radial:
integral0^a r,e^-r^2,dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r,dr ou r,dr = tfrac12,du. Os limites viram u(0)=0 e u(a)=a^2. Assim,
integral0^a r,e^-r^2,dr = 12 integral0^a^2 e^-u,du = 12l(1 - e^-a^2r)

Passo 5

A parte angular é direta:
integral0^pi/2 dtheta = pi2
Multiplicando as duas partes, a integral total fica
pi2 times 12l(1 - e^-a^2r) = pi4l(1 - e^-a^2r)

Resposta

integral duplaR e^-(x^2+y^2),dA = pi4l(1 - e^-a^2r).

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