Prove que
, onde
é um quarto do circulo de raio
localizada no primeiro quadrante do plano-
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é o quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, pois a simetria circular torna o cálculo muito mais simples.
Passo 2
Para aplicar coordenadas polares, fazemos
,
e sabemos que
. No primeiro quadrante e dentro do círculo de raio
, os limites são
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
$$
\iint_{R} e{-(x{2}+y^{2})},dA
\int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{r=0}{a} e{-r{2}},r,dr,d\theta.
$$
Passo 4
Vamos separar a integral em parte radial e parte angular. Primeiro a parte radial:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Os limites viram
e
. Assim,
Passo 5
A parte angular é direta:
Multiplicando as duas partes, a integral total fica