Calcule o
para os seguintes polinômios em
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o
(máximo divisor comum) dos polinômios em
Informações dadas e relevantes (retirei-as exatamente do enunciado):
Pergunta explícita: determinar
(espero que você queira o representante monico usual).
Passo 2
Definição e propriedades úteis (explicação didática):
- Em
um polinômio não nulo é produto de fatores lineares (Teorema Fundamental da Álgebra). Ou seja, todos os fatores irreducíveis são da forma com . - Dois polinômios
e têm como máximo divisor comum (mdc) um polinômio de maior grau tal que divide e divide . No anel o mdc é único até multiplicação por constante não nula; por convenção escolhemos o representante monico (coeficiente líder igual a ). - Se escrevemos os polinômios em fatoração em irreducíveis
onde para fatores ausentes usamos expoente
, então a regra prática é:
Explicação da regra: qualquer fator
que divide ambos aparece com expoente pelo menos
; e esse produto com expoentes mínimos é o maior polinômio (em grau) que divide os dois.
Passo 3
Motivação intuitiva com exemplo pequeno (para fixar):
- Suponha
e . Então .
Isso mostra concretamente o uso denas multiplicidades.
Passo 4
Identificar os fatores e suas multiplicidades nos polinômios fornecidos (peguei esses dados do enunciado mostrado no Passo 1):
Para :
Para
portanto as multiplicidades são
,
,
.
Para
:
portanto as multiplicidades são
,
,
.
Observe que
não contém o fator
(ou seja, multiplicidade
para
em
) e
não contém
(multiplicidade
para
em
).
Passo 5
Aplicar a regra do passo 2: para cada possível fator linear comum tomamos o mínimo das multiplicidades.
- Para
: . - Para
: . - Para
: (não é comum). - Para
: (não é comum).
Logo os únicos fatores que aparecem no mdc são
com expoente
e
com expoente
.
Passo 6
Formar o
como o produto dos fatores comuns com os expoentes mínimos:
Verificação rápida (para você se sentir seguro): dividir
e
por esse polinômio dá polinômios (sem resto):
Além disso, qualquer divisor comum
de
e
só pode conter
e
com expoentes
aos que colocamos, então
divide
. Portanto
é realmente o máximo divisor comum (representante monico).