Calcule o m d c\{f, g\} para os seguintes polinômios em \mathbb{C}[x]
f=(x-2)^{3}(x-5)^{4}(x-i) ; g=(x-1)(x-2)(x-5)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o \operatorname{mdc}\{f,g\} (máximo divisor comum) dos polinômios em \mathbb{C}[x]
f=(x-2)^{3}(x-5)^{4}(x-i),
g=(x-1)(x-2)(x-5)^{3}.
Informações dadas e relevantes (retirei-as exatamente do enunciado):
f=(x-2)^{3}(x-5)^{4}(x-i),
g=(x-1)(x-2)(x-5)^{3}.
Pergunta explícita: determinar \operatorname{mdc}\{f,g\} (espero que você queira o representante monico usual).

Passo 2

Definição e propriedades úteis (explicação didática):
  • Em \mathbb{C}[x] um polinômio não nulo é produto de fatores lineares (Teorema Fundamental da Álgebra). Ou seja, todos os fatores irreducíveis são da forma (x-a) com a\in\mathbb{C}.
  • Dois polinômios f e g têm como máximo divisor comum (mdc) um polinômio d de maior grau tal que d divide f e d divide g. No anel \mathbb{C}[x] o mdc é único até multiplicação por constante não nula; por convenção escolhemos o representante monico (coeficiente líder igual a 1).
  • Se escrevemos os polinômios em fatoração em irreducíveis
f=\prod_{j}(x-a_j)^{\alpha_j},\qquad g=\prod_{j}(x-a_j)^{\beta_j},
onde para fatores ausentes usamos expoente 0, então a regra prática é:
\operatorname{mdc}\{f,g\}=\prod_{j}(x-a_j)^{\min(\alpha_j,\beta_j)}.
Explicação da regra: qualquer fator (x-a_j) que divide ambos aparece com expoente pelo menos \min(\alpha_j,\beta_j); e esse produto com expoentes mínimos é o maior polinômio (em grau) que divide os dois.

Passo 3

Motivação intuitiva com exemplo pequeno (para fixar):
  • Suponha f=(x-1)^3(x-2)^2 e g=(x-1)^1(x-2)^4. Então \operatorname{mdc}\{f,g\}=(x-1)^{\min(3,1)}(x-2)^{\min(2,4)}=(x-1)^1(x-2)^2.
    Isso mostra concretamente o uso de \min nas multiplicidades.

Passo 4

Identificar os fatores e suas multiplicidades nos polinômios fornecidos (peguei esses dados do enunciado mostrado no Passo 1):
Para f:
f=(x-2)^{3}(x-5)^{4}(x-i)^{1},
portanto as multiplicidades são \alpha_{x-2}=3, \alpha_{x-5}=4, \alpha_{x-i}=1.
Para g:
g=(x-1)^{1}(x-2)^{1}(x-5)^{3},
portanto as multiplicidades são \beta_{x-1}=1, \beta_{x-2}=1, \beta_{x-5}=3.
Observe que f não contém o fator (x-1) (ou seja, multiplicidade 0 para (x-1) em f) e g não contém (x-i) (multiplicidade 0 para (x-i) em g).

Passo 5

Aplicar a regra do passo 2: para cada possível fator linear comum tomamos o mínimo das multiplicidades.
  • Para (x-2): \min(\alpha_{x-2},\beta_{x-2})=\min(3,1)=1.
  • Para (x-5): \min(\alpha_{x-5},\beta_{x-5})=\min(4,3)=3.
  • Para (x-i): \min(\alpha_{x-i},\beta_{x-i})=\min(1,0)=0 (não é comum).
  • Para (x-1): \min(\alpha_{x-1},\beta_{x-1})=\min(0,1)=0 (não é comum).
Logo os únicos fatores que aparecem no mdc são (x-2) com expoente 1 e (x-5) com expoente 3.

Passo 6

Formar o \operatorname{mdc} como o produto dos fatores comuns com os expoentes mínimos:
\operatorname{mdc}\{f,g\}=(x-2)^{1}(x-5)^{3}.
Verificação rápida (para você se sentir seguro): dividir f e g por esse polinômio dá polinômios (sem resto):
\frac{f}{\operatorname{mdc}}=(x-2)^{2}(x-5)^{1}(x-i),
\frac{g}{\operatorname{mdc}}=(x-1).
Além disso, qualquer divisor comum h de f e g só pode conter (x-2) e (x-5) com expoentes \le aos que colocamos, então h divide \operatorname{mdc}. Portanto \operatorname{mdc} é realmente o máximo divisor comum (representante monico).

Resposta

(x-2)(x-5)^{3}

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