Questão 8. Calcule todas as raízes do polinômio f=x^{5}+\overline{3} x^{3}+x^{2}+\overline{2} x sobre o corpo \mathbb{Z}_{5}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f = x^{5}+\overline{3}\,x^{3}+x^{2}+\overline{2}\,x
sobre o corpo \mathbb{Z}_{5} e pede que calcule todas as raízes deste polinômio em \mathbb{Z}_{5}.
Informações relevantes dadas:
\mathbb{Z}_{5}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}.
Queremos todos os elementos \overline{a}\in\mathbb{Z}_{5} tais que f(\overline{a})=\overline{0}.

Passo 2

Estratégia: em corpos finitos pequenos dá para testar todos os elementos, mas há um atalho muito útil: para todo \overline{a}\in\mathbb{Z}_{5} vale a versão de Fermat / propriedade de campo
\overline{a}^{5}=\overline{a}.
Vou usar essa igualdade ao avaliar f em elementos de \mathbb{Z}_{5} para simplificar a expressão. (Ex.: 2^{5}=32\equiv2\pmod{5}.)

Passo 3

Usando \overline{x}^{5}=\overline{x} quando avaliamos em elementos de \mathbb{Z}_{5}, substituímos \overline{x}^{5} por \overline{x} na expressão de f. Assim, para qualquer \overline{x}\in\mathbb{Z}_{5} temos:
f(\overline{x})=\overline{x}+\overline{3}\,\overline{x}^{3}+\overline{x}^{2}+\overline{2}\,\overline{x}.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes na aritmética de \mathbb{Z}_{5} (lembre que \overline{1}+\overline{2}=\overline{3}), obtemos
f(\overline{x})=\overline{3}\,\overline{x}^{3}+\overline{x}^{2}+\overline{3}\,\overline{x}.
Fatorando \overline{x} em evidência:
f(\overline{x})=\overline{x}\bigl(\overline{3}\,\overline{x}^{2}+\overline{x}+\overline{3}\bigr).
Logo qualquer raiz é ou \overline{x}=\overline{0} ou satisfaz \overline{3}\,\overline{x}^{2}+\overline{x}+\overline{3}=\overline{0}.

Passo 5

Para resolver \overline{3}\,\overline{x}^{2}+\overline{x}+\overline{3}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{5}, multiplico a equação por \overline{2}, que é o inverso de \overline{3} em \mathbb{Z}_{5} (pois \overline{3}\cdot\overline{2}=\overline{6}=\overline{1}). Multiplicando tudo por \overline{2} obtemos:
\overline{2}\cdot\bigl(\overline{3}\,\overline{x}^{2}+\overline{x}+\overline{3}\bigr)=\overline{x}^{2}+\overline{2}\,\overline{x}+\overline{1}=\overline{0}.
Observamos que \overline{x}^{2}+\overline{2}\,\overline{x}+\overline{1}=(\overline{x}+\overline{1})^{2} em \mathbb{Z}_{5}. Portanto
(\overline{x}+\overline{1})^{2}=\overline{0}\quad\Rightarrow\quad \overline{x}+\overline{1}=\overline{0}.
Assim \overline{x}=\,-\overline{1}=\overline{4} (porque -1\equiv4\pmod{5}).

Passo 6

Juntando as soluções: \overline{x}=\overline{0} (da fatoração) e \overline{x}=\overline{4} (da solução do quadrático). Para ficar 100% certo, podemos verificar diretamente no polinômio original:
Verificação rápida:
f(\overline{0})=\overline{0}.
f(\overline{4}):\quad \overline{4}^{5}=\overline{4},\\ \overline{4}^{3}=\overline{4}^{3}=\overline{64}=\overline{4},\\ \overline{4}^{2}=\overline{16}=\overline{1},
então
f(\overline{4})=\overline{4}+\overline{3}\cdot\overline{4}+\overline{1}+\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{4}+\overline{2}+\overline{1}+\overline{3}=\overline{10}=\overline{0}.
Portanto ambas são raízes.

Resposta

\overline{0}
\overline{4}

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