Calcule a maior taxa de variação da função f(x, y) = x^2 * y + 2 * raiz(y) no ponto (2,1). Em qual direção ela ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a maior taxa de variação da função no ponto (2,1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos mostrar não só qual é a maior taxa de variação, mas também a direção em que ela ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Esse vetor aponta na direção de maior aumento da função, e o seu comprimento (magnitude) representa a taxa máxima de variação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeira, a derivada parcial em relação a :
Segunda, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (2,1).
Para em (2,1):
Para em (2,1):

Passo 5

Assim, o gradiente da função no ponto (2,1) é:

Passo 6

A magnitude do gradiente, que representa a maior taxa de variação, é calculada pela fórmula:

Passo 7

A direção em que ocorre essa maior taxa de variação é dada pela direção do vetor gradiente. Podemos expressar isso como um vetor unitário dividindo o gradiente pela sua magnitude:
çã

Resposta

A maior taxa de variação da função no ponto (2,1) é aproximadamente 6,40 e ocorre na direção do vetor .

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